Question

高一数学，向量问题

Answer 1

向量的运算
设a=(x,y),b=(x',y')。
　　
1、向量的加法
　　向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
　　AB+BC=AC。
　　a+b=(x+x',y+y')。
　　a+0=0+a=a。
　　向量加法的运算律:
　　交换律:a+b=b+a;
　　结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。
　　
2、向量的减法
　　如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.
0的反向量为0
　　AB-AC=CB.
即“共同起点,指向被减”
　　a=(x,y)
b=(x',y')
则
a-b=(x-x',y-y').
　　
4、数乘向量
　　实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
　　当λ>0时,λa与a同方向;
　　当λ<0时,λa与a反方向;
　　当λ=0时,λa=0,方向任意。
　　当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0。
　　注:按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。
　　实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
　　当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;
　　当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。
　　数与向量的乘法满足下面的运算律
　　结合律:(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。
　　向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa.
　　数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb.
　　数乘向量的消去律:①
如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b。②
如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ。
　　
3、向量的的数量积
　　定义:两个非零向量的夹角记为〈a,b〉,且〈a,b〉∈[0,π]。
　　定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a·b。若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉;若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣。
　　向量的数量积的坐标表示:a·b=x·x'+y·y'。
　　向量的数量积的运算率
　　a·b=b·a(交换率);
　　(a+b)·c=a·c+b·c(分配率);
　　向量的数量积的性质
　　a·a=|a|的平方。
　　a⊥b
〈=〉a·b=0。
　　|a·b|≤|a|·|b|。
　　向量的数量积与实数运算的主要不同点
　　1、向量的数量积不满足结合律,即:(a·b)·c≠a·(b·c);例如:(a·b)^2≠a^2·b^2。
　　2、向量的数量积不满足消去律,即:由
a·b=a·c
(a≠0),推不出
b=c。
　　3、|a·b|≠|a|·|b|
　　4、由
|a|=|b|
,推不出
a=b或a=-b。
　　
4、向量的向量积
　　定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b。若a、b不共线,则a×b的模是:∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线,则a×b=0。
　　向量的向量积性质:
　　∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
　　a×a=0。
　　a∥b〈=〉a×b=0。
　　向量的向量积运算律
　　a×b=-b×a;
　　(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);
　　(a+b)×c=a×c+b×c.
　　注:向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的。
　　
向量的三角形不等式
　　1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;
　　①
当且仅当a、b反向时,左边取等号;
　　②
当且仅当a、b同向时,右边取等号。
　　2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。
　　①
当且仅当a、b同向时,左边取等号;
　　②
当且仅当a、b反向时,右边取等号。