Question

设0<c<1,a1=c/2,a(n+1)=c/2+an²/2,证明数列an收敛,并求其极限

Answer 1

a(n+1)=(an)²/2-an+c

=(an-1)²/2+c-1/2

a2=(a1-1)²/2+c-1/2=c-1/2

a3=(a2-1)²/2+c-1/2

a3-a2=(a2-1)²/2=(c-3/2)²/2=1/8

c=3/2±1/2

c=2或c=1(舍去)

即c=2

a(n+1)=(an)²/2-an+2

a(n+1)-an

=(an)²/2-2an+2

=(an-2)²/2

假设存在自然数n使an=2

则a(n+1)=an=2

同理an=a(n-1)=a(n-2)=……=a1=2

则数列｛an｝为常数列，与题意不符

因此对于任意自然数n，恒有an≠2

所以a(n+1)-an=(an-2)²/2>0

即an

“极限”

是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。

数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。

Answer 2

先由归纳法知，c/2
≤
an
<
c
，因此数列有界，
其次，由
a(n+1)-a(n)
=
1/2
*
[a(n)^2
-
a(n-1)^2]
及
a2>a1，
由归纳法可知数列递增，
因此数列必有极限，设极限为
a，两边取极限得
a
=
c/2
+
a^2/2，
解得
a=1-√(1-c)
（舍去
1+√(1-c)
）。