Question

已知圆C和Y轴相切，圆心C 在直线x-3y=0上，且被直线y=x截得的弦长为2√7，求圆C的方程，这道题怎么做

Answer 1

解：设圆心为（3a，a）
根据题意，半径为｜3a｜
设圆的方程为
(x-3a)²+(y-a)²=9a²
圆心（3a，a）到直线y=x的距离=｜2a｜/√2
弦长一半=√7，半径=｜3a｜
根据勾股定理
4a²/2+7=9a²
7a²=7
a²=1
a=1或-1
所以
圆的方程为
(x-3)²+(y-1)²=9
或
(x+3)²+(y+1)²=9

Answer 2

方法一：根据题意设圆心为(a,a/3)

圆与y轴相切

故r=a

故圆的标准方程为(x-a)2+(y-1/3)2=a2

设与y=x相交于点A.B两点，代入圆的方程有：

18x2-24ax+a2=0

x1+x2=4a/3,x1x2=a2/18

y1-y2=x1-x2

IABI=√[(x1-x2)2+(y1-y2)2]=√2*√(x1-x2)2=√2*√[(x1+x2)2-4x1x2]

=√2*√(16a2/9-2a2/9)=√2*√(14a2/9)=√28IaI/3=2√7

a=3或a=-3

故圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9

方法二：

根据条件设圆心为(a,a/3),则半径r=a

设直线y=x与圆交于点A.B

则圆心到直线y的距离d=Ia-a/3I/√2=√2IaI/3

而d^2+(AB/2)^2=r^2=a^2

即2a^2/9+7=a^2

a=±3

故圆的方程为 (x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9

Answer 3

与y轴相切
到y轴距离等于半径
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
r=|a|
圆心点c在直线x-3y=0上
a=3b
(x-3b)^2+(y-b)^2=9b^2

弦AB=2√7
中点是D
则AD=√7，AC=r=|3b|
CD=√(9b^2-7)
C到y=x距离=|3b-b|/√(1+1)=√(9b^2-7)
b=1,b=-1
(x-3)^2+(y-1)^2=9
(x+3)^2+(y+1)^2=9b^2