求文档: 2004全国高考数学立体几何题
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1．[2004年全国高考(山东山西河南河北江西安徽卷)理科数学第10题，文科数学第10题]
已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H.设四面体EFGH的表面积为T，则等于（）
A．B．C．D．
2．[2004年全国高考(山东山西河南河北江西安徽卷)理科数学第16题，文科数学第16题]
已知a、b为不垂直的异面直线，是一个平面，则a、b在上的射影有可能是.
①两条平行直线②两条互相垂直的直线
③同一条直线④一条直线及其外一点
在一面结论中，正确结论的编号是（写出所有正确结论的编号）.
3．[2004年全国高考(四川云南吉林黑龙江)文科数学第6题]
正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（）
A．75°B．60°C．45°D．30°
4．[2004年全国高考(四川云南吉林黑龙江)理科数学第7题，文科数学第10题]
已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则
球心O到平面ABC的距离为（）
A．B．C．D．
5．[2004年全国高考(四川云南吉林黑龙江)理科数学第16题，文科数学第16题]
下面是关于四棱柱的四个命题：
①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱
④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱
其中，真命题的编号是（写出所有正确结论的编号）.
6．[2004年全国高考(陕西广西海南西藏内蒙古)理科数学第9题，文科数学第10题]
正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为（）
A．B．C．D．
7．[2004年全国高考(陕西广西海南西藏内蒙古)理科数学第13题，文科数学第14题]
用平面截半径为的球，如果球心到平面的距离为，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为.
8．[2004年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)文科数学第3题]
正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成45°角，则此三棱柱的体积为（）
A．B．C．D．
9．[2004年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)理科数学第7题]
对于直线m、n和平面，下面命题中的真命题是（）
A．如果、n是异面直线，那么
B．如果、n是异面直线，那么相交
C．如果、n共面，那么
D．如果、n共面，那么
10．[2004年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)文科数学第11题]
已知球的表面积为20，球面上有A、B、C三点.如果AB=AC=BC=2，则球心到平
面ABC的距离为（）
A．1B．C．D．2
11．[2004年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)理科数学第10题]
已知球的表面积为20π，球面上有A、B、C三点.如果AB=AC=2，BC=，则球心
到平面ABC的距离为（）
A．1B．C．D．2
12．（2004年北京高考·理工第3题，文史第3题）
设m、n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若，，则
②若，，，则
③若，，则
④若，，则
其中正确命题的序号是
A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ①和④
13．（2004年北京高考·理工第4题，文史第6题）
如图，在正方体中，P是侧面内一动点，若P到直线BC与直线的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是
A. 直线B. 圆C. 双曲线D. 抛物线
14．（2004年北京高考·理工第11题，文史第12题）
某地球仪上北纬纬线的长度为，该地球仪的半径是__________cm，
表面积是______________cm2
15．[2004年全国高考(山东山西河南河北江西安徽卷)理科数学第20题，文科数学第21题，满分12分]
如图，已知四棱锥 P—ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.
（I）求点P到平面ABCD的距离；
（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小.
16．[2004年全国高考(四川云南吉林黑龙江)理科数学第20题，文科数学第20题，满分12分]
如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=1，CB=，侧棱AA1=1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M.
（Ⅰ）求证CD⊥平面BDM；
（Ⅱ）求面B1BD与面CBD所成二面角的大小.
17．[2004年全国高考(陕西广西海南西藏内蒙古)理科数学第20题，文科数学第21题，满分12分]
三棱锥P-ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3，
（1）求证：AB ⊥ BC；
（2，理科）设AB=BC=，求AC与平面PBC所成角的大小.
(2，文科) 如果AB=BC=，求侧面PBC与侧面PAC所成二面角的大小.
18．[2004年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)理科数学第20题，文科数学第21题，本小题满分12分]
如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=4，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.
（Ⅰ）求四棱锥P—ABCD的体积；
（Ⅱ）证明PA⊥BD.
19．（2004年北京高考·文史第16题，本小题满分14分）
如图，在正三棱柱中，AB＝2，，由顶点B沿棱柱侧面经过棱到顶点的最短路线与的交点记为M，求：
（I）三棱柱的侧面展开图的对角线长
（II）该最短路线的长及的值
（III）平面与平面ABC所成二面角（锐角）的大小
20．（2004年北京高考·理工第16题，本小题满分14分）
如图，在正三棱柱中，AB＝3，，M为的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱到M的最短路线长为，设这条最短路线与的交点为N，求：
（I）该三棱柱的侧面展开图的对角线长
（II）PC和NC的长
（III）平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）
参考答案
1．A2．①②④3．C4．B5．②④6．C7．8．A9．C
10．A11．A12．A13．D14．
15．[2004年全国高考(山东山西河南河北江西安徽卷)理科数学第20题，文科数学第21题]
本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分.
（I）解：如图，作PO⊥平面ABCD，垂足为点O.连结OB、OA、OD、OB与AD交于点E，连结PE.
∵AD⊥PB，∴AD⊥OB，
∵PA=PD，∴OA=OD，
于是OB平分AD，点E为AD的中点，所以PE⊥AD.
由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角，
∴∠PEB=120°，∠PEO=60°
由已知可求得PE=
∴PO=PE·sin60°=，
即点P到平面ABCD的距离为.
（II）解法一：如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA.
.连结AG.
又知由此得到：
所以
等于所求二面角的平面角，
于是
所以所求二面角的大小为.
解法二：如图，取PB的中点G，PC的中点F，连结EG、AG、GF，则AG⊥PB，FG//BC，FG=BC.
∵AD⊥PB，∴BC⊥PB，FG⊥PB，
∴∠AGF是所求二面角的平面角.
∵AD⊥面POB，∴AD⊥EG.
又∵PE=BE，∴EG⊥PB，且∠PEG=60°.
在Rt△PEG中，EG=PE·cos60°=.
在Rt△PEG中，EG=AD=1.
于是tan∠GAE==,
又∠AGF=π－∠GAE.
所以所求二面角的大小为π－arctan.
16．[2004年全国高考(四川云南吉林黑龙江)理科数学第20题，文科数学第20题]
本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.
满分12分.
解法一：（Ⅰ）如图，连结CA1、AC1、CM，则CA1=
∵CB=CA1=，∴△CBA1为等腰三角形，
又知D为其底边A1B的中点，
∴CD⊥A1B.∵A1C1=1，C1B1=，∴A1B1=
又BB1=1，A1B=2. ∵△A1CB为直角三角形，D为A1B的中点，
∴CD=A1B=1，CD=CC1，又DM=AC1=，DM=C1M.
∴△CDM≌△CC1M，∠CDM=∠CC1M=90°，即CD⊥DM.
因为A1B、DM为平在BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM.
（Ⅱ）设F、G分别为BC、BD的中点，连结B1G、FG、B1F，则FG//CD，FG=CD.
∴FG=，FG⊥BD.
由侧面矩形BB1A1A的对角线的交点为D知BD=B1D=A1B=1，
所以△BB1D是边长为1的正三角形.
于是B1G⊥BD，B1G=∴∠B1GF是所求二面角的平面角，
又 B1F2=B1B2+BF2=1+（=，
∴
即所求二面角的大小为
解法二：如图，以C为原点建立坐标系.
（Ⅰ）B（，0，0），B1（，1，0），A1（0，1，1），
D（，M（，1，0），
则∴CD⊥A1B，CD⊥DM.
因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM.
（Ⅱ）设BD中点为G，连结B1G，则
G（），、、），
所以所求的二面角等于
17．[2004年全国高考(陕西广西海南西藏内蒙古)理科数学第20题，文科数学第21题]
本小题主要考查两个平面垂直的性质、直线与平面所成角等有关知识，以及逻辑思维能力和空间想象能力.满分12分.
（Ⅰ）证明：如图1，取AC中点D，连结PD、BD.
因为PA=PC，所以PD⊥AC，又已知面PAC⊥面ABC，
所以PD⊥面ABC，D为垂足.
因为PA=PB=PC，所以DA=DB=DC，
可知AC为△ABC的外接圆直径，因此AB⊥BC.
（Ⅱ，理科）解：如图2，作CF⊥PB于F，连结AF、DF.
因为△PBC≌△PBA，所以AF⊥PB，AF=CF.
因此，PB⊥平面AFC，
所以面AFC⊥面PBC，交线是CF，
因此直线AC在平面PBC内的射影为直线CF，
∠ACF为AC与平面PBC所成的角.
在Rt△ABC中，AB=BC=2，所以BD=
在Rt△PDC中，DC=
在Rt△PDB中，
在Rt△FDC中，所以∠ACF=30°.
即AC与平面PBC所成角为30°.
（2，文科）解：因为AB=BC，D为AC中点，所以BD⊥AC.
又面PAC⊥面ABC，
所以BD⊥平面PAC，D为垂足.
作BE⊥PC于E，连结DE，
因为DE为BE在平面PAC内的射影，
所以DE⊥PC，∠BED为所求二面角的平面角.
在Rt△ABC中，AB=BC=，所以BD=.
在Rt△PDC中，PC=3，DC=，PD=，
所以
因此，在Rt△BDE中，，
，
所以侧面PBC与侧面PAC所成的二面角为60°.
18．[2004年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)理科数学第20题，文科数学第21题]
本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析
问题能力.满分12分
解：（Ⅰ）如图1，取AD的中点E，连结PE，则PE⊥AD.
作PO⊥平面在ABCD，垂足为O，连结OE.
根据三垂线定理的逆定理得OE⊥AD，
所以∠PEO为侧面PAD与底面所成的二面角的平面角，
由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6，
所以PO=3，四棱锥P—ABCD的体积
VP—ABCD=
（Ⅱ）解法一：如图1，以O为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得
P（0，0，3），A（2，－3，0），B（2，5，0），D（－2，－3，0）
所以
因为所以PA⊥BD.
解法二：如图2，连结AO，延长AO交BD于点F.通过计算可得EO=3，AE=2，
又知AD=4，AB=8，
得
所以Rt△AEO∽Rt△BAD.
得∠EAO=∠ABD.
所以∠EAO+∠ADF=90°
所以AF⊥BD.
因为直线AF为直线PA在平面ABCD 内的身影，所以PA⊥BD.
19．（2004年北京高考·文史第16题，本小题满分14分）
本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。满分14分。
解：（I）正三棱柱的侧面展开图是长为6，宽为2的矩形
其对角线长为
（II）如图，将侧面绕棱旋转使其与侧面在同一平面上，点B运动到点D的位置，连接交于M，则就是由顶点B沿棱柱侧面经过棱到顶点C1的最短路线，其长为
，
故
（III）连接DB，，则DB就是平面与平面ABC的交线
在中
又
由三垂线定理得
就是平面与平面ABC所成二面角的平面角（锐角）
侧面是正方形
故平面与平面ABC所成的二面角（锐角）为
20．（2004年北京高考·理工第16题）
本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。满分14分。
解：（I）正三棱柱的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为
（II）如图1，将侧面绕棱旋转使其与侧成在同一平面上，点P运动到点的位置，连接，则就是由点P沿棱柱侧面经过棱到点M的最短路线
设，则，在中，由勾股定理得
求得
（III）如图2，连结，则就是平面NMP与平面ABC的交线，作于H，又平面ABC，连结CH，由三垂线定理得，
就是平面NMP与平面ABC所成二面角的平面角（锐角）
在中，
在中，
故平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小为
已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H.设四面体EFGH的表面积为T，则等于（）
A．B．C．D．
2．[2004年全国高考(山东山西河南河北江西安徽卷)理科数学第16题，文科数学第16题]
已知a、b为不垂直的异面直线，是一个平面，则a、b在上的射影有可能是.
①两条平行直线②两条互相垂直的直线
③同一条直线④一条直线及其外一点
在一面结论中，正确结论的编号是（写出所有正确结论的编号）.
3．[2004年全国高考(四川云南吉林黑龙江)文科数学第6题]
正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（）
A．75°B．60°C．45°D．30°
4．[2004年全国高考(四川云南吉林黑龙江)理科数学第7题，文科数学第10题]
已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则
球心O到平面ABC的距离为（）
A．B．C．D．
5．[2004年全国高考(四川云南吉林黑龙江)理科数学第16题，文科数学第16题]
下面是关于四棱柱的四个命题：
①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱
④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱
其中，真命题的编号是（写出所有正确结论的编号）.
6．[2004年全国高考(陕西广西海南西藏内蒙古)理科数学第9题，文科数学第10题]
正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为（）
A．B．C．D．
7．[2004年全国高考(陕西广西海南西藏内蒙古)理科数学第13题，文科数学第14题]
用平面截半径为的球，如果球心到平面的距离为，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为.
8．[2004年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)文科数学第3题]
正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成45°角，则此三棱柱的体积为（）
A．B．C．D．
9．[2004年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)理科数学第7题]
对于直线m、n和平面，下面命题中的真命题是（）
A．如果、n是异面直线，那么
B．如果、n是异面直线，那么相交
C．如果、n共面，那么
D．如果、n共面，那么
10．[2004年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)文科数学第11题]
已知球的表面积为20，球面上有A、B、C三点.如果AB=AC=BC=2，则球心到平
面ABC的距离为（）
A．1B．C．D．2
11．[2004年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)理科数学第10题]
已知球的表面积为20π，球面上有A、B、C三点.如果AB=AC=2，BC=，则球心
到平面ABC的距离为（）
A．1B．C．D．2
12．（2004年北京高考·理工第3题，文史第3题）
设m、n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若，，则
②若，，，则
③若，，则
④若，，则
其中正确命题的序号是
A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ①和④
13．（2004年北京高考·理工第4题，文史第6题）
如图，在正方体中，P是侧面内一动点，若P到直线BC与直线的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是
A. 直线B. 圆C. 双曲线D. 抛物线
14．（2004年北京高考·理工第11题，文史第12题）
某地球仪上北纬纬线的长度为，该地球仪的半径是__________cm，
表面积是______________cm2
15．[2004年全国高考(山东山西河南河北江西安徽卷)理科数学第20题，文科数学第21题，满分12分]
如图，已知四棱锥 P—ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.
（I）求点P到平面ABCD的距离；
（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小.
16．[2004年全国高考(四川云南吉林黑龙江)理科数学第20题，文科数学第20题，满分12分]
如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=1，CB=，侧棱AA1=1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M.
（Ⅰ）求证CD⊥平面BDM；
（Ⅱ）求面B1BD与面CBD所成二面角的大小.
17．[2004年全国高考(陕西广西海南西藏内蒙古)理科数学第20题，文科数学第21题，满分12分]
三棱锥P-ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3，
（1）求证：AB ⊥ BC；
（2，理科）设AB=BC=，求AC与平面PBC所成角的大小.
(2，文科) 如果AB=BC=，求侧面PBC与侧面PAC所成二面角的大小.
18．[2004年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)理科数学第20题，文科数学第21题，本小题满分12分]
如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=4，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.
（Ⅰ）求四棱锥P—ABCD的体积；
（Ⅱ）证明PA⊥BD.
19．（2004年北京高考·文史第16题，本小题满分14分）
如图，在正三棱柱中，AB＝2，，由顶点B沿棱柱侧面经过棱到顶点的最短路线与的交点记为M，求：
（I）三棱柱的侧面展开图的对角线长
（II）该最短路线的长及的值
（III）平面与平面ABC所成二面角（锐角）的大小
20．（2004年北京高考·理工第16题，本小题满分14分）
如图，在正三棱柱中，AB＝3，，M为的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱到M的最短路线长为，设这条最短路线与的交点为N，求：
（I）该三棱柱的侧面展开图的对角线长
（II）PC和NC的长
（III）平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）
参考答案
1．A2．①②④3．C4．B5．②④6．C7．8．A9．C
10．A11．A12．A13．D14．
15．[2004年全国高考(山东山西河南河北江西安徽卷)理科数学第20题，文科数学第21题]
本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分.
（I）解：如图，作PO⊥平面ABCD，垂足为点O.连结OB、OA、OD、OB与AD交于点E，连结PE.
∵AD⊥PB，∴AD⊥OB，
∵PA=PD，∴OA=OD，
于是OB平分AD，点E为AD的中点，所以PE⊥AD.
由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角，
∴∠PEB=120°，∠PEO=60°
由已知可求得PE=
∴PO=PE·sin60°=，
即点P到平面ABCD的距离为.
（II）解法一：如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA.
.连结AG.
又知由此得到：
所以
等于所求二面角的平面角，
于是
所以所求二面角的大小为.
解法二：如图，取PB的中点G，PC的中点F，连结EG、AG、GF，则AG⊥PB，FG//BC，FG=BC.
∵AD⊥PB，∴BC⊥PB，FG⊥PB，
∴∠AGF是所求二面角的平面角.
∵AD⊥面POB，∴AD⊥EG.
又∵PE=BE，∴EG⊥PB，且∠PEG=60°.
在Rt△PEG中，EG=PE·cos60°=.
在Rt△PEG中，EG=AD=1.
于是tan∠GAE==,
又∠AGF=π－∠GAE.
所以所求二面角的大小为π－arctan.
16．[2004年全国高考(四川云南吉林黑龙江)理科数学第20题，文科数学第20题]
本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.
满分12分.
解法一：（Ⅰ）如图，连结CA1、AC1、CM，则CA1=
∵CB=CA1=，∴△CBA1为等腰三角形，
又知D为其底边A1B的中点，
∴CD⊥A1B.∵A1C1=1，C1B1=，∴A1B1=
又BB1=1，A1B=2. ∵△A1CB为直角三角形，D为A1B的中点，
∴CD=A1B=1，CD=CC1，又DM=AC1=，DM=C1M.
∴△CDM≌△CC1M，∠CDM=∠CC1M=90°，即CD⊥DM.
因为A1B、DM为平在BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM.
（Ⅱ）设F、G分别为BC、BD的中点，连结B1G、FG、B1F，则FG//CD，FG=CD.
∴FG=，FG⊥BD.
由侧面矩形BB1A1A的对角线的交点为D知BD=B1D=A1B=1，
所以△BB1D是边长为1的正三角形.
于是B1G⊥BD，B1G=∴∠B1GF是所求二面角的平面角，
又 B1F2=B1B2+BF2=1+（=，
∴
即所求二面角的大小为
解法二：如图，以C为原点建立坐标系.
（Ⅰ）B（，0，0），B1（，1，0），A1（0，1，1），
D（，M（，1，0），
则∴CD⊥A1B，CD⊥DM.
因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM.
（Ⅱ）设BD中点为G，连结B1G，则
G（），、、），
所以所求的二面角等于
17．[2004年全国高考(陕西广西海南西藏内蒙古)理科数学第20题，文科数学第21题]
本小题主要考查两个平面垂直的性质、直线与平面所成角等有关知识，以及逻辑思维能力和空间想象能力.满分12分.
（Ⅰ）证明：如图1，取AC中点D，连结PD、BD.
因为PA=PC，所以PD⊥AC，又已知面PAC⊥面ABC，
所以PD⊥面ABC，D为垂足.
因为PA=PB=PC，所以DA=DB=DC，
可知AC为△ABC的外接圆直径，因此AB⊥BC.
（Ⅱ，理科）解：如图2，作CF⊥PB于F，连结AF、DF.
因为△PBC≌△PBA，所以AF⊥PB，AF=CF.
因此，PB⊥平面AFC，
所以面AFC⊥面PBC，交线是CF，
因此直线AC在平面PBC内的射影为直线CF，
∠ACF为AC与平面PBC所成的角.
在Rt△ABC中，AB=BC=2，所以BD=
在Rt△PDC中，DC=
在Rt△PDB中，
在Rt△FDC中，所以∠ACF=30°.
即AC与平面PBC所成角为30°.
（2，文科）解：因为AB=BC，D为AC中点，所以BD⊥AC.
又面PAC⊥面ABC，
所以BD⊥平面PAC，D为垂足.
作BE⊥PC于E，连结DE，
因为DE为BE在平面PAC内的射影，
所以DE⊥PC，∠BED为所求二面角的平面角.
在Rt△ABC中，AB=BC=，所以BD=.
在Rt△PDC中，PC=3，DC=，PD=，
所以
因此，在Rt△BDE中，，
，
所以侧面PBC与侧面PAC所成的二面角为60°.
18．[2004年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)理科数学第20题，文科数学第21题]
本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析
问题能力.满分12分
解：（Ⅰ）如图1，取AD的中点E，连结PE，则PE⊥AD.
作PO⊥平面在ABCD，垂足为O，连结OE.
根据三垂线定理的逆定理得OE⊥AD，
所以∠PEO为侧面PAD与底面所成的二面角的平面角，
由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6，
所以PO=3，四棱锥P—ABCD的体积
VP—ABCD=
（Ⅱ）解法一：如图1，以O为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得
P（0，0，3），A（2，－3，0），B（2，5，0），D（－2，－3，0）
所以
因为所以PA⊥BD.
解法二：如图2，连结AO，延长AO交BD于点F.通过计算可得EO=3，AE=2，
又知AD=4，AB=8，
得
所以Rt△AEO∽Rt△BAD.
得∠EAO=∠ABD.
所以∠EAO+∠ADF=90°
所以AF⊥BD.
因为直线AF为直线PA在平面ABCD 内的身影，所以PA⊥BD.
19．（2004年北京高考·文史第16题，本小题满分14分）
本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。满分14分。
解：（I）正三棱柱的侧面展开图是长为6，宽为2的矩形
其对角线长为
（II）如图，将侧面绕棱旋转使其与侧面在同一平面上，点B运动到点D的位置，连接交于M，则就是由顶点B沿棱柱侧面经过棱到顶点C1的最短路线，其长为
，
故
（III）连接DB，，则DB就是平面与平面ABC的交线
在中
又
由三垂线定理得
就是平面与平面ABC所成二面角的平面角（锐角）
侧面是正方形
故平面与平面ABC所成的二面角（锐角）为
20．（2004年北京高考·理工第16题）
本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。满分14分。
解：（I）正三棱柱的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为
（II）如图1，将侧面绕棱旋转使其与侧成在同一平面上，点P运动到点的位置，连接，则就是由点P沿棱柱侧面经过棱到点M的最短路线
设，则，在中，由勾股定理得
求得
（III）如图2，连结，则就是平面NMP与平面ABC的交线，作于H，又平面ABC，连结CH，由三垂线定理得，
就是平面NMP与平面ABC所成二面角的平面角（锐角）
在中，
在中，
故平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小为
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