Question

6.在等比数列{an}中,若a1,a11是方程 3x^2-17x+3=0 的两根,则 a4a8=？

Answer 1

设等比数列{an}的公比为q，则有a11=a1*q^10，又因为a1、a11是方程3x^2-17x+3=0的两根，因此有：
3a1^2 - 17a1 + 3 = 0
3a11^2 - 17a11 + 3 = 0
将a11=a1*q^10代入第二个式子，得到
3a1^2*q^20 - 17a1*q^10 + 3 = 0
将第一个式子中的a1用17-3a1/3代入上面的式子，整理化简得到
q^10 = (17 + √(193))/18 或 q^10 = (17 - √(193))/18
由于 a4*a8 = a1*q^3 * a1*q^7 = a1^2*q^10 = a1^2*q^2 * q^8 = a3*a9*q^8
因此只需要求得a3和a9即可。根据等比数列的求和公式及前两项的关系有a3*a9 = a2^2=q^2a1^2=3/2
进一步代入公比q的两个解，最终得到：
当q=(17+√(193))/18时，a4*a8 = ((17+√(193))/2)^2 / 2 = (140+34√(193))/9
当q=(17-√(193))/18时，a4*a8 = ((17-√(193))/2)^2 / 2 = (140-34√(193))/9
综上所述，等比数列{an}中a4a8的值为 (140+34√(193))/9 或 (140-34√(193))/9。