Question

已知f(x)=x-a/x2+bx+1是奇函数，求（1）a,b的值（2）求f(x)的单调区间，并证明

Answer 1

你好，天秤不会做

解：
(1)
f(x)=(x-a)/x^2+bx+1 ，
∵函数为奇函数，且定义域为R
∴f(0)=–a/1=0
∴a=0
∵f(-x)=(-x)/(x^2-bx+1)=-f(x)=–x/(x^2+bx+1)
∴x^2-bx+1=x^2+bx+1
∴b=0
∴a=b=0
(2)由（1）f(x)=x/(x^2+1)
∴函数在（–∞，–1]及[1，+∞）上为减函数，
在[–1，1]上为增函数，
证明：任取x1，x2∈（–∞，–1]且x1<x2
f(x2)-f(x1)=x2/(x2^2+)-x1/(x1^2+1)
=[x2(x1^2+1)-x1(x2^2+1)]/(x1^2+1)(x2^2+1)
=(x2x1^2+x2-x1x2^2-x1)/(x1^2+1)(x2^2+1)
=[x1x2(x1-x2)+(x2-x1)]/(x1^2+1)(x2^2+1)
=[(x1-x2)(x1x2-1)] /(x1^2+1)(x2^2+1)
∵x1，x2 ∈(–∞，–1]且x1<x2
∴x1−x2<0，x1x2−1>0，(x1^2 +1)(x2^2 +1)>0
∴[(x1-x2)(x1x2-1)]/(x1^2+1)(x2^2+1)<0
∴f(x2)-f(x1)<0
即f(x2)<f(x1)
∴函数在（−∞，−1]上为减函数
同理，其它可证

Answer 2

（1）因为f(x)=x-a/x2+bx+1是奇函数 所以f(x)=-f(-x) 通过比较系数自然可以求出a、b的值
（2）至于求函数的单调区间 通过第一问求出a、b后，可以做出图象，直接看图象得到函数的单调区间

Answer 3

kk