Question

基变换与坐标变换有什么几何意义

Answer 1

基变换和坐标变换都是线性代数中的重要概念，它们在几何学中有着重要的应用。
基变换是指改变向量空间的基底，将原来的基底用新的基底来表示向量。在几何学中，基变换可以用来描述同一向量在不同基底下的坐标表示。例如，在平面直角坐标系中，可以将向量 $(x,y)$ 表示为 $(1,0)$ 和 $(0,1)$ 的线性组合，即 $(x,y)=x\cdot(1,0)+y\cdot(0,1)$。但是在极坐标系下，同一个向量就可以用 $(r,\theta)$ 表示，其中 $r$ 表示向量的长度，$\theta$ 表示向量与极轴的夹角。这时就需要进行基变换，将 $(1,0)$ 和 $(0,1)$ 转化为极坐标系下的基底 $(\cos\theta,\sin\theta)$ 和 $(-\sin\theta,\cos\theta)$，从而表示向量 $(x,y)$ 在极坐标系下的坐标表示为 $x\cdot\cos\theta+y\cdot\sin\theta$ 和 $-x\cdot\sin\theta+y\cdot\cos\theta$。
坐标变换是指在给定基底下改变向量的坐标表示。在几何学中，坐标变换可以用来描述同一向量在同一基底下的不同坐标表示。例如，在平面直角坐标系中，向量 $(x,y)$ 的坐标为 $(x,y)$。如果将原来基底的方向旋转 $\theta$ 角度，得到新的坐标系，向量 $(x,y)$ 在新坐标系下的坐标表示为 $(x',y')$。这时就需要进行坐标变换，将 $(x,y)$ 的坐标表示转化为 $(x',y')$ 的坐标表示。坐标变换可以用线性变换来表示，即 $(x',y')=A\cdot(x,y)$，其中 $A$ 是变换矩阵。
因此，基变换和坐标变换都是描述向量在不同坐标系下的表示方法，它们在几何学中有着广泛的应用，例如描述旋转、投影、缩放等几何变换。