Question

a,b,c∈（0，+∞，a+b+c=3,求证：a/(3-a)+b/(3-b)+c/(3-c)≥3/2

=3[1/(3-a)+1/(3-b)+1/(3-c)]-3
（利用柯西不等式）
≥3×[（1+1+1）^2/（3-a＋3-b＋3-c）]-3

这步是怎么出来的？

Answer 1

证明：∵a,b,c∈（0，+∞）
∴a/(3-a)+b/(3-b)+c/(3-c)
=｛[a/(3-a)+1]＋[b/(3-b)+1]＋[c/(3-c)＋1]｝-3
=[3/(3-a)+3/(3-b)+3/(3-c)]-3
=3[1/(3-a)+1/(3-b)+1/(3-c)]-3
（利用柯西不等式）
≥3×[（1+1+1）^2/（3-a＋3-b＋3-c）]-3
=3×｛9/[9-（a+b+c)]｝-3
=3×3/2-3
=3/2
当且仅当a=b=c=1时
上式等号成立
∴a/(3-a)+b/(3-b)+c/(3-c)≥3/2