Question

高中数学：求函数f(x)=(e^x-a)^2+(e^-x-a)^2 （0<a<2）的最小值

Answer 1

解：F(X)=(E^X-A)^2+(E^(-X)-A)^2
=(E^X）^2+(E^(-X)）^2-2A（E^X+E^(-X)）+2A^2
=(E^X+E^(-X))^2-2A（E^X+E^(-X)）+2A^2-2
=(E^X+E^(-X)-A)^2+A^2-2
E^X+E^(-X)>=2,0<A<2
所以E^X+E^(-X)=2,时F（X）最小，最小值是2A^2-4A+2

Answer 2

解：由f(x)=(e^x-a)^2+(e^-x-a)^2 （0<a<2）拆项变形得
f(x)=(e^x+e^-x)^2-2a(e^x+e^-x)+a^2-2
设e^x+e^-x=t，则t>=2
此时得到f(x)=(e^x+e^-x)^2-2a(e^x+e^-x)+a^2-2
=t^2-2at+a^2-2
对称轴x=a<2在定义域t>=2左侧
所以f（t）=t^2-2at+a^2-2
单调递增
所以当t=2的时候取到最小值是f（2）=4-4a+a^2-2
=a^2-4a+2
此时t=2=e^x+e^-x得到x=0
综上所述：当x=0时函数f(x)=(e^x-a)^2+(e^-x-a)^2 （0<a<2）取到最小值为a^2-4a+2

Answer 3

不知道对不对，希望对你有帮助

Answer 4

求函数f(x)=(e^x-a)^2+(e^-x-a)^2 （0<a<2）的最小值
解析：f’(x)=2(e^x-a)e^x-2(e^-x-a)e^x=2 e^x(e^x- e^(-x))=0x=0
f’’(x)=4(e^x)^2>0
∴函数f(x)在x=0处取极小值f(0)=2(1-a)^2
∵0<a<2
设h(a)= 2(1-a)^2
∴当a=1时，h(a)取极小值0
∴当a=1时，函数f(x)在x=0处取极小值f(0)=2(1-1)^2=0