Question

已知椭圆x^2/2+y^2=1的左焦点为F,O为坐标原点,设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭

已知椭圆(x^2)/2+y^2=1的左焦点为F，O为坐标原点，设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A,B，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标取值范围

Answer 1

y=k（x+1）与(x^2)/2+y^2=1联立，得(1+2k^2)x^2+4k^2 x+2k^2-2=0,左焦点为F在椭圆内部，直线与椭圆一定两个交点，△>0;x1+x2= - 4k^2/(1+2k^2),y1+y2=2k/(1+2k^2)
垂直平分线方程：y-y0= - 1//k (x-x0)
其中（x0，y0）为AB中点
带入，令y=0得x= - k^2/(1+2k^2),,x<0,
k^2/(1+2k^2)=1/2+1/2(1+2k^2)>1/2
点G横坐标取值范围(-1/2,0)

Answer 2

F(-1,0),O(0,0)设直线y=k(x+1)，A(x1,k(x1+1))B(x2,k(x2+1))
与椭圆联立:(2k²+1)x²+4k²x+2k²-2=0,△>0推出k>1/3或者k<-1/2
x1+x2=-4k²/(2k²+1),x1x2=(2k²-2)/(2k²+1)
AB中点设为C(n,m),所以n=(x1+x2)/2=-4k²/(2k²+1)*1/2=-2k²/(2k²+1),m=(y1+y2)/2=k(x1+1)+k(x2+1)=k(x1+x2)+2k=2k/(2k²+1)☞C([-2k²/(2k²+1)],[2k/(2k²+1)])
AB垂直平分线的斜率为-1/k
所以垂直平分线方程为:y-2k/(2k²+1)=-(x+2k²/(2k²+1))/k
令y=0,求得x=4k²/(2k²+1),令t=2k²∈
对x=2t/(t+1),x'=[2(t+1)-2t]/(t+1)²=2/(t+1²)>0
所以对k=tana(a为夹角),cosa≠o,sina≠0即k≠0
那么x∈(-∞,-1/2)∪(1/3,+∞)

Answer 3

由题得，弦AB所在的直线方程为y=k(x-1)，该方程与椭圆方程联立，得（1/2+k2)x2-2k2x+k2-1+0。然后再设其中垂线方程为y=-1/k+b，A的坐标为（x1,y1)，B的坐标为（x2,y2），所以中点坐标{（x1+x2)/2，(y1+y2)/2}，根据韦达定理该中点坐标可化为{(2k2)/(1+2k2)，(2k3)/(1+2k2)-k}。把这个坐标代入弦AB中垂线所在的方程，得b=(k)/(1+2k2)，则1/b=(1+2k2)/k，化简得1/k+2k，根据基本不等式，得1/b>二倍根号2，所以b>0，最终得0<b<根号2/4，将该范围代入弦AB所在的方程，得x的取值范围{负无穷，0}并上{0,正无穷}。
方法是这样，若计算出现错误，敬请原谅。