Question

双曲线(x^2)/4-(y^2)/(b^2)=1(b∈N*)的两个焦点F1、F2，P为双曲线上一点，/OP/＜5，/PF1/、/F1F2/、/PF2/

双曲线(x^2)/4-(y^2)/(b^2)=1(b∈N*)的两个焦点F1、F2，P为双曲线上一点，/OP/＜5，/PF1/、/F1F2/、/PF2/成等比数列，求此双曲线的方程

Answer 1

双曲线x^2/4-y^2/b^2=1(b∈N*)的两个焦点F1,F2，P为双曲线上一点，|OP|<5, |PF1|、|F1F2|、|PF2|成等比数列，求此双曲线方程解: 焦距为c , 所以c^2=4+b^2 设f为(m,n)，并不妨设p为右半支上的点，即x>0 则P到右准线x=a^2/c=4/c的距离d1=m-4/c 到左准线x=-4/c的距离d2=m+4/c 则|pf1|/d1=|pf2|/d2=e 所以|pf1|*|pf2|=(e*d1)*(e*d2)=e^2*(m-4/c)(m+4/c) =c^2/4*(m^2-16/c^2)=[(mc)^2]/4-4 |f1f2|^2=(2c)^2=4c^2 所以(mc)^2/4-4=4c^2 c^2=4/(m^2/4-4) 由于b是自然数，所以c^2肯定是自然数再利用|op|<5，以及上面求得的式子，可以求出c来