Question

F1，F2是双曲线x²／a²－y²／b²＝1的左右焦点，若双曲线点P满足 ∠F1PF2=60°，且op的

F1，F2是双曲线x²／a²－y²／b²＝1的左右焦点，若双曲线点P满足 ∠F1PF2=60°，且op的距离等于根号7乘以a（o为坐标原点），则该双曲线离心率是？

Answer 1

不妨设P点在右支上，则 (1)PF1-PF2=2a;
(2)∠F1PF2=60°由余弦定理得F1F2^2=PF1^2+PF2^2-2pF1PF2cos60
即PF1^2+PF2^2-PF1PF2=4C^2
(3)三角形PF1O与PF2O中:OP^2+OF1^2-PF1^2=2OP×OF1cosPOF1
即7a^2+c^2-PF1^2=2√7accosPOF1
OP^2+OF2^2-PF2^2=2OP×OF2cosPOF2;即7a^2+c^2-PF2^2=2√7accosPOF2=-2√7accosPOF1
所以上2式相加得：PF1^2+PF2^2=14a^2+2c^2
给(1)式平方得PF1^2+PF2^2-2PF1PF2=4a^2所以PF1PF2=5a^2+c^2
由（2），（3）得：PF1PF2=14a^2-2c^2
所以5a^2+c^2=14a^2-2c^2
c^2=3a^2 ;c=√3a 所以离心率e=c/a=√3