Question

关于椭圆的题目

若椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上任一点到其上顶点的最大距离恰好等于该椭圆的中心到其准线的距离，则该椭圆的离心率的取值范围是？

Answer 1

设椭圆上点为(acosθ,bsinθ)
其到上顶点距离的平方为(acosθ)^2 + (b-bsinθ)^2 = a^2 + b^2 - 2b^2sinθ - c^2(sinθ)^2

若b^2/c^2≤1,则最大值为a^2 + b^2 + b^4/c^2 = a^4/c^2
所以此时椭圆上点到上顶点距离恰好是中心到准线距离
所以e的范围由b^2/c^2≤1决定
c^2≥b^2=a^2-c^2
2c^2≥a^2
√2/2≤e<1

若b^2/c^2>1,则最大值为4b^2,它要等于a^4/c^2
a^4=4c^2(a^2 - c^2)
所以a^2=2c^2,此时b^2=c^2,舍去

所以 √2/2≤e<1