Question

设z1，z2∈C， （1）求证：|z1+z2|²+|z1-z2|²=2|z1|²+2|z2|²；

（2）设|z1|=3，|z2|=5，|z1+z2|=6，求|z1-z2|。

Answer 1

(1)：|z1+z2|²+|z1-z2|²=(z1+z2)²+(z1-z2)²=(z1²+2*z1*z2+z2²)+(z1²-2*z1*z2+z2²)=2*z1²+2*z2²=2|z1|²+2|z2|²
(2)由（1）可知|z1-z2|²=2|z1|²+2|z2|²-|z1+z2|²，把|z1|=3，|z2|=5，|z1+z2|=6代入可得
原式=18+50-36=32，又因为|z1-z2|>0所以|z1-z2|=4√2

Answer 2

这
z1=a+bi
z2=c+di
z1+z2=(a+c)+(b+d)i
|z1+z2|2=(a+c)2+(b+d)2
同样|z1-z2|2=(a-c)2+(b-d)2
所以左边=2(a2+b2+c2+d2)=2|z1|2+2|z2|2

用第一题结论 |z1+z2|2=2(32+52)-62=68-36=32
|z1+z2|=4倍根号2