Question

高二数学解答题

设有半径为3km的圆形村落。AB两人同时从村落中心出发。B向北直行。A向东直行。出村后不久。改变前进方向。沿着与村落周界相切的直线前进。设AB两人速度一定。其速度比为3:1。问两人在何处相遇？

Answer 1

解：如图建立平面直角坐标系,由题意可设A、B两人速度分别为3v千米/小时,v千米/小时,再设出发x0小时,在点P改变方向,又经过y0小时,在点Q处与B相遇． 

则P、Q两点坐标为(3vx0,0),(0,vx0+vy0)． 

由|OP|2+|OQ|2=|PQ|2知 

(3vx0)2+(vx0+vy0)2=(3vy0)2， 

即(x0+y0)(5x0-4y0)=0 

x0+y0>0,5x0-4y0=0 ===> 5x0=4y0……(1) 

将(1)代入k(PQ)=-(x0+y0)/3x0得k(PQ)=-3/4 

又已知PQ与圆O相切,直线PQ在y轴上的截距就是两个相遇的位置． 

设直线y=-3x/4+b (b>0)与圆x2+y2=9相切. 

有|4b|/5=3 ===> b=15/4 

答：A、B相遇点在离村中心正北15/4千米处.