Question

一道数学题，在线等~~

平面上有两点，A（-1，0）B(1，0），点p在圆周（x-3）^2+(y-4)^2=4上，求使AP^2+BP^取最小值时点P的坐标

Answer 1

平面上有两点，A（-1，0）B(1，0），点p在圆周（x-3）^2+(y-4)^2=4上，求使
AP²+BP²取最小值时点P的坐标.
解:将园的方程改写成参数方程: x=3+2cost; y=4+2sint, t∈R. 于是有:
y=PA²+PB²=[(3+2cost+1)²+(4+2sint)²]+[(3+2cost-1)²+(4+2sint)²]
=[(4+2cost)²+(4+2sint)²]+[(2+2cost)²+(4+2sint)²]
=(8cos²t+24cost+20)+(8sin²t+32sint+32)
=8(cos²t+sin²t)+24cost+32sint+52
=24cost+32sint+60=32[(3/4)cost+sint]+60
令tanφ=3/4,则sinφ=3/5, cosφ=4/5, 于是:
y=3(tanφcost+sint)+60=(3/cosφ)(sinφcost+cosφsint)+60
=(15/4)sin(φ+t)+60≥-15/4+60=225/4=56.25
当φ+t=3π/2, 即t=3π/2-arctan(3/4)=3π/2-36.87°×π/180°=1.5π-0.2π=1.3π=234°时
等号成立.此时P点的坐标: x=3+2cos234°=3-2×0.5878=1.8244, y=4+2sin234°
=4-2×0.8090=2.3820. (都是近似值)

Answer 2

这个问题很简单呀，你可以设P点坐标是（X,Y)然后求出AP^2+BP^2的表达式，相信你一定知道怎呢算，利用圆的公式，可以得到一个函数，利用函数求出最小值，就可以得到X或Y的值，计算过程就不帮你写了，相信你自己写的效果要更好一些，

Answer 3

换元法,设P（x,y）
x=3+cosA,y=4+sinA(0<=A<360度)
P(3+cosA,4+sinA)
|PA|^2+|PB|^2=(3+cosA)^2+(5+sinA)^2+(3+cosA)^2+(3+sinA)^2
=54+12cosA+16sinA
=54+20sin(A+b)(tanb=3/4)
最大值为74,此时
A+b=90度，sinA=cosb=4/5,cosA=sinb=3/5
P(18/5,24/5)
最小值为34,此时
A+b=270度，sinA=-cosb=-4/5,cosA=-sinb=-3/5
P(12/5,16/5)