Question

求一道分离变量微分方程的通解

xy'-ylny=0.需要详细过程，谢谢，由于是自学，没老师教，没地方问了，才来百度的。。

Answer 1

xy'-ylny=0 → dy/dx=(ylny)/x → 分离变量得: dy/(ylny)=dx/x
→ d(lny)/lny=d(lnx) ※之所以得出这一步是因为 d(lny)=dy/y ※
→ 两边积分得: ∫d(lny)/lny = ∫d(lnx)
→ ln|lny|=ln|x|+ln|C| ，C是任意不为0的常数(取成ln|C|纯粹是为了最后表达方便)
→ 两边取指数得：lny=Cx
可以验证，当C=0，即 y≡1 时，y=1也是微分方程xy'-ylny=0的一个解
综上所述，微分方程的通解是：lny=Cx 也即 y=e^(Cx) ，C为任意常数。

▲其实一阶常微分方程的初等解法（包括分离变量法）是微分方程理论中最基础也最简单的内容，必须牢牢掌握！如果感觉阅读这一部分内容有困难，请务必复习一下一元微积分的基础知识！