Question

在△ABC中，已知a/cosA=b/cosB=c/cosC,求证这个三角形是等边三角形

在△ABC中，已知a/cosA=b/cosB=c/cosC,求证这个三角形是等边三角形

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Answer 1

证明：由三角形正弦定理得
a/sinA=b/sinB=c/sinC
所以a/b=sinA/sinB=cosA/cosB
得sinAcosB-cosAsinB=0
所以sin（A-B）=0
所以A-B=π*n（n取整数）
又因为0＜A＜π，＜0B＜π
所以A=B
同理可证 B=C
所以三角形为正三角形

Answer 2

做A垂直BC于D，做B垂直AC于E。由a/cosA=b/cosB知a/2*cosB=b/2*cosA=c,得a=b.同理可证a=c.即证明a=b=c
cosA=AE/AB =(b/2)/c
cosB=BD/AB =(a/2)/c

Answer 3

cosA/a=cosb/b=cosC/c
(b2+c2-a2)/2abc=(a2+c2-b2)/2abc=(b2+c2-a2)/2abc
b2+c2-a2=a2+c2-b2=b2+c2-a2 (a2表示a的平方)
整理，a2=b2=c2
a=b=c