Question

高中一道立体几何填空题，知答案求过程

题目贴图：百度图片地址：
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fnxnmn
一个矩形，它的对角线与该斜面有固定的交点，“点OP可以理解为长方体的一条体对角线”的说法不准确

看来我之前误解“fnxnmn”了，“我本寒江雪”帮助我走出了误区：“点OP可以理解为长方体的一条体对角线”是指以OP线段为体对角线，而不是原来的四面体的三条边，这也就意味着O点不在ABC面上也可。

Answer 1

先证明一个结论，下面要用到：
若长方体的一条对角线与过它的一个端点的三条棱所成的角分别是α、β、γ，
则cos²α+cos²β+cos²γ=1
证明：设长方体的长宽高分别为a、b、c
体对角线r=√（a^2+b^2+c^2）
cosα=a/r
cosβ=b/r
cosγ=c/r
所以cos²α+cos²β+cos²γ=（a^2+b^2+c^2）/r^2=1

题目中，已知∠APB=∠BPC=∠APC=90°，
点p处的三个角是直角，
所以点OP可以理解为长方体的一条体对角线，
根据上面的结论，
则OP与棱PA、PB、PC所成的角满足cos²α+cos²β+cos²γ=1，
而本题中α=45°，β=60°，
所以cos²45°+cos²60°+cos²γ=1，
cosγ=1/2，所以γ=60°，
即∠OPC=60°.

Answer 2

题目中，已知∠APB=∠BPC=∠APC=90°，

点p处的三个角是直角，

所以OP可以理解为长方体的一条体对角线，如图，

设PB’=b,PA’=a,PC’=c.在三角形OPB’中，∠OB’P=90°，∠OPB’=60°，根据勾股定理可得OP=2b，同理在三角形OPA’中可得OP=（√2）a,∴2b=（√2）a…………①，得a=（√2）b,又∵OP是长方体的体对角线，OP^2=a^2+b^2+c^2…………②,由①②可和b=c，从而可证三角形OPB’≌三角形OPC’，∴∠OPC’=∠OPB’=60°，即∠OPC=60°