Question

已知函数f(x)=alnx-ax-3(a∈R),

若函数y=f(x)的图像在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意t∈[1,2]，函数g（x）=x^3+x^2[f'(x)+m/2]在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围
最好有详细点的解答过程。谢谢！

Answer 1

由（2,f(2)）点切线倾斜角为45得，f'(2)=1，即a/2-2=1,则，a=-2,f'(x)=-2/x+2，则g(x)=x^3+x^2(-2/x+2+m/2)=x^3+(2+m/2)x^2-2x,g'(x)=3x^2+(4+m)x-2,题中说函数不单调，也就是说在(t,3)范围内，g'(x)=0有解，因为g'(0)=-2<0,所以当且仅当g'(t)<0且g'(3)>0时方程有解，3t^2+(4+m)t-2<0且3*3^2-3(4+m)-2>0,解之得-37/3<m<2/t-3t-4,又因为t∈[1,2],所以-37/3<m<－9

Answer 2

f'(x)=a/x-a
f'(2)=a/2-a=tan45=1
a=-2
g'(x)=3x^2+2x(-2/x+2+m/2)+2/x^2 * x^2=3x^2+(4+m)x-4
若g(x)在(t,3)上总不是单调函数
1.g'(t)g'(3)<0
参变量分离可得
2.g'(t)g(3)>0
g'(x)对称轴x=(-4-m)/6<0

Answer 3

先求导，求出a，再求m的取值范围。