Question

高中圆锥曲线问题

已知抛物线y^2=2PX(P>0)上有两动点A,B及一个定点M（X0,Y0),F是抛物线的焦点，且/AF/,/MF/,/BF/成等差数列。
（1）求证：线段AB的垂直平分线经过定点Q（X0+P,0)
（2）若/MF/=4，/OQ/=6(O为原点），求此抛物线方程。
（需要详细过程，满意的我额外加分）

Answer 1

1.设A(x1,y1),B(x2,y2)
它们在抛物线上，所以有：y1^=2px1,y2^=2px2 ①
根据抛物线y^=2px的解析式，必有：x1,x2,x0>0
抛物线准线为：x=-p/2
设A，M，B三点到准线的距离分别是d1,d0,d2
根据抛物线的第二定义：抛物线上的点到焦点的距离一定等于到准线的距离，可知：
|AF|=d1,|MF|=d0,|BF|=d2
∵|AF|,|MF|,|BF|成等差数列
∴|AF|+|BF|=2|MF|
<=>|d1|+|d2|=2|d0|
根据坐标定义，可得：d1=x1+p/2,d0=x0+p/2,d2=x2+p/2 （x1,x0,x2，p都是正值，所以可以脱去绝对值符号）
<=>(x1+p/2)+(x2+p/2)=2(x0+p/2)
<=>x1+x2=2x0 ②

由Q(x0+p,0),A(x1,y1),B(x2,y2)，可得：
|AQ|=√{[(x0+p)-x1]^+(y1-0)^}
|BQ|=√{[(x0+p)-x2]^+(y2-0)^}
<=>
|AQ|^-|BQ|^=[(x0+p)-x1]^+y1^-[(x0+p)-x2]^-y2^
代入①式，有：
|AQ|^-|BQ|^=(x0+p)^-2x1*(x0+p)+x1^+y1^ -(x0+p)^+2x2*(x0+p)-x2^-y2^
=-2x1x0-2px1+x1^+2px1 +2x2x0+2px2-x2^-2px2
=x1^-x2^ -2x1x0+2x2x0
=(x1+x2)(x1-x2)-2x0(x1-x2)
=(x1+x2-2x0)(x1-x2)
代入②式，得：
|AQ|^-|BQ|^=0
<=>|AQ|=|BQ|
即，Q点到线段AB两端的距离相等，由垂直平分线性质可知：Q点必在线段AB的垂直平分线上！

2.|MF|=d0=|x0+p/2|=x0+p/2
<=>x0+p/2=4 ③

由O(0,0),Q(x0+p,0)
<=>|OQ|=|x0+p|=x0+p
<=>x0+p=6 ④
④-③，得：
p=4

∴抛物线方程为：y^=8x

Answer 2

（1）证明：设A(x1,y1),B(x2,y2),A、B的中点为P（a,b),由已知得y1^2-y2^2=2px1-2px2,
所以（y1+y2）(y1-y2)=2p(x1-x2),直线AB的斜率为(y1-y2)/(x1-x2)=2p/（y1+y2)=p/b,直线AB的
垂直平分线的斜率为-b/p,又因为|AF|+||BF|=2|MF|,所以（x1+p/2)+（x2+p/2)=2（x0+p/2)，即
x1+x2=2x0,P（x0,b)。直线AB的垂直平分线方程为y-b=-(b/p)(x-x0),即b(x-x0-p)+py=0,所以线段AB的垂直平分线过定点Q(x0+p,0)；
（2)由已知得x0+p/2=4,x0+p=6，解得p=4,所以抛物线方程为y^2=8x.