Question

已知函数f(x)=ax2+bx,满足条件f(2)=0，且方程f(x)=x有等根。问：是否存在实数m,n使得定义域与值域分别为

[m,n],[2m,2n]

Answer 1

∵f(2)=0
∴得到4a+2b=0
a=-1/2b ①
又∵f(x)=x有等根
∴得到ax²+bx=x
ax²+（b-1）x=0
△=0
故（b-1）²-4×a×0=0
故 b=1 ②
将②回代入①
得a=-1/2
∴f(x)=-1/2x²+x
而函数f(x)的对称轴为直线x=-2a/b=1，因为a=-1/2＜0
当x=1时，f(x)有最大值f(x)max=f(1)=1/2
接着分类讨论
①当f(x)在【m,n】上有单调性时，即m≥1或n≤1时
则必有f(m)=2m 且f(n)=2n,m＜n
故得到方程组 -1/2m²+m=2m
-1/2n²+n=2n
m＜n
m≥1或n≤1
解得m=-2,n=0
经检验，m=-2,n=0符合题意
②当f(x)在【m,n】没有单调性时，即m≤1≤n时
则有2n=f(x)max=1/2
故得n=1/4，
∵1/4＜1，与题设矛盾，故舍去
∴综上所述，存在实数m,n，m的值为-2，n的值为0