Question

是否存在质数p,q,使得关于x的一元二次方程px²-qx+p=0有有理根

Answer 1

p=2,q=5只有这一种情况
由求根公式，即求p,q使得根号(q^2-4*p^2)=x为有理数，又p,q均为质数，故想x为整数。
即求满足q^2-4*p^2=x^2的质数p,q。易知x,q奇偶性相同，又q不等于2，故x,q均为奇数。
原式化为(q-x)(q+x)=2*2*p*p
q-x,q+x均为偶数。若p不等于2，p为奇数，则必有q-x=2,q+x=2p^2，两式相加得q=p^2+1,与p,q均为奇数矛盾。若p=2，带入q=5,7，只有q=5符合。

Answer 2

存在，如q=79，p=2，有q平方减四倍p平方=79平方-16>0。所以有有理根，只要找到pq使德尔塔大于零就行。

Answer 3

存在。
例如：p=2,q=5
2x^2-5x+2=0
x=2或1/2