Question

求解一道高一数学题

设二次函数f（x）=ax^2+bx+c在区间【-2，2】上的最大值、最小值分别为M、m，集合A=｛x|f（x）=x｝
若A=｛2｝，且a≥1，记g（a）=M+m，求g（a）的最小值
（不仅要答案，更要详细的求解过程！！！）

Answer 1

设二次函数f（x）=ax^2+bx+c在区间【-2，2】上的最大值、最小值分别为M、m，集合A=｛x|f（x）=x｝
若A=｛2｝，且a≥1，
f(x)=ax^2+bx+c=x有一重根2
ax^2+(b-1)x+c=0 有解x=2
根与系数关系，有 2x=-(b-1)/a , x^2=c/a其中x=2
b=-4a+1, c=4a
f(x)=ax^2 +（-4a+1)x + 4a=a*[x - (4a-1)/2a]^2 + 4a - a*[(4a-1)/2a]^2
f(x)关于x=[(4a-1)/2a]对称，
且a≥1 f(x)开口向上，对称轴x=[(4a-1)/2a]=2-(1/2a)在x>0和x<2间
所以在区间【-2,2】f(x)最小值m4a-a*[(4a-1)/2a]^2
x=-2时，f(x)有最大值M=a*[-4+(1/2a)]^2+4a-a*[(4a-1)/2a]^2
记g（a）=M+m，
g（a）=a*[-4+(1/2a)]^2 + 8a-2a*[(4a-1)/2a]^2
=16a+(1/4a)-4+8a- 2a*[2-(1/2a)]^2
=24a+(1/4a)-4-8a+4-(1/2a)
=16a-(1/4a)
a>=1,a=1时，g(a)最小值g(a)=16-1/4