Question

高二数学解析几何题，急

完成后再送上20分

Answer 1

（1）首先求向量a与向量b。因为 i = (1,0) j = (0,1)
所以向量a = (x-√3，y) ,向量b = (x+√3，y)
|a| + |b| = 4，所以√[(x-√3)² + y²] + √[(x+√3)² + y²] = 4
由上式可以看出，动点P(x,y)到两定点(√3，0)，(-√3，0)的距离之和为常数4，故其轨迹为
一椭圆，椭圆方程为：x²/4 + y² = 1
（2）根据已知条件，可以设直线方程为 y = x + m
将直线方程代入椭圆方程之中，得到：x²/4 + (x + m)² = 1，经整理得到：
(5/4)x² + 2mx + m² - 1 = 0
得到根系关系为：x1 + x2 = -8m/5 x1x2 = (4m² - 4)/5
根据椭圆的弦长公式：|AB| = |x1 - x2|√(1+k²) 这里k为直线的斜率，显然k = 1
计算可得：|AB| = √[(x1+x2)² - 4x1x2] = [4√2*√(5-m²)]/5
AB边上的高即为坐标原点到直线的距离，距离h = |m|/√2
S = 0.5*|AB|*h，|AB|*h = 0.8√[m²(5 - m²)]，易得，当m² = 2.5时，
|AB|*h = 0.8*2.5 = 2，此时的面积为1，为最大值，此时，m = √(5/2) = √10 / 2