Question

已知函数f(x)=(1-x)/ax+lnx，且a为正实数, 当a=1时，求f(x)在[1/2,2]上的最大值和最小值

Answer 1

f(x)=(1-x)/ax+lnx
a=1时
f(x)=(1-x)/x+lnx
=1/x+lnx-1
f'(x)=-1/x^2+1/x
=-(1/x-1/2)^2+1/4
令f'=0，解得x=1
所以
当 x∈[1/2,1) 时， f'(x)<0，f(x)是减函数
当 x∈(1,2] 时，f'(x)>0，f(x)是增函数
当 x=1时 f'(x)=0 是极值点，再根据上面单调性的判断，x=1是最小值点。

这样，对于函数f(x)=1/x+lnx-1
我们比较 f(1/2),f(2)各点的值即可。
f(1/2)=2-ln2
f(2)=1/2+ln2-1=ln2-1/2
f(1/2)-f(2)=5/2-2ln2>5/2-2>0
即 f(1/2)>f(2)
所以最大值 是 2-ln2，最小值是0