Question

已知函数f(x)=x*lnx. (1)求f(x)的最小值。 （2）若对所有x>=1,都有f(x)>=ax-1，求实数a的取值范围。

Answer 1

解：(1)(通过讨论函数的单调性来求最值)求导数得f'(x)=lnx+1，
由f'(x)≥0，即lnx+1≥0解得x≥1/e，
则原函数的单调增区间为[1/e，+∞)，减区间为(0，1/e](注意定义域x>0)，
函数有(0，+∞)上先减后增，故在x=1/e处取得最小值，所以f(x)的最小值为f(1/e)=-1/e。
(2)因为f(x)>=ax-1，所以xlnx≥ax-1，移项得xlnx+1≥ax,
又x≥1，两边都除以x得lnx+1/x≥a，即a≤lnx+1/x，
要使该式在x≥1上恒成立，只需a小于等于lnx+1/x的最小值即可，
为此，下面来求lnx+1/x的最小值。为讨论方便，设g(x)=lnx+1/x，
则g′(x)=1/x-1/x²，显然当x≥1时，g′(x)=1/x-1/x²≥0恒成立，
即说明函数g(x)=lnx+1/x在x≥1上是增函数，
所以其最小值为g(1)=1，所以a≤1。

Answer 2

1）求导得，f'(x)=x'lnx+x*1/x=lnx+1
f(x)取得最小值时，f'(x)=lnx+1=0，解得lnx=-1，x=1/e
∴最小值为f(1/e)=1/e*(-1)=-1/e
2) 由f(x)≥ax-1得xlnx≥ax-1，即xlnx+1≥ax
∵x≥1，∴a≤lnx+1/x (x≥1)

Answer 3

.当f'(x)=lnx+1=0时，x=1/e
最小值为-1/e