已知函数f(x)=ex+1ex(Ⅰ)求函数f(x)的最小值;(Ⅱ)若对所有x≤0都有f(x)≥ax+1,求实数a的取值
已知函数f(x)=ex+1ex(Ⅰ)求函数f(x)的最小值;(Ⅱ)若对所有x≤0都有f(x)≥ax+1,求实数a的取值范围....
已知函数f(x)=ex+1ex(Ⅰ)求函数f(x)的最小值;(Ⅱ)若对所有x≤0都有f(x)≥ax+1,求实数a的取值范围.
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(Ⅰ)由已知得f'(x)=-e-x+e,…(1分)
令f'(x)>0得x>-1;令f'(x)<0得x<-1.
因此,函数f (x)在(-∞,-1]上单调减函数,在[-1,+∞)上是单调增函数,…(5分)
当x=-1时,f(x)的有极小值也是最小值,f(x)min=0…(6分)
(Ⅱ)令g(x)=f(x)-ax-1=e-x+(e-a)x-1,
则g'(x)=-e-x+(e-a),g(0)=0.…(8分)
(1)当e-a≤0,即a≥e时,g'(x)=-e-x+(e-a)<0,g(x)在(-∞,0]是减函数,
因此当x≤0时,都有g(x)≥g(0)=0,即f(x)-ax-1≥0,f(x)≥ax+1;…(10分)
(2)当a<e时,令g'(x)<0得x<-ln(e-a);令g'(x)>0得x>-ln(e-a),
因此函数g(x)在(-∞,-ln(e-a)]上是减函数,在[-ln(e-a),+∞)上是增函数.
由于对所有x≤0都有f(x)≥ax+1,即g(x)≥g(0)=0成立,
因此-ln(e-a)≥0,e-a≤1,a≥e-1,又a<e,
所以e-1≤a≤e.…(13分)
综上所述,a的取值范围是[e-1,+∞).…(14分)
令f'(x)>0得x>-1;令f'(x)<0得x<-1.
因此,函数f (x)在(-∞,-1]上单调减函数,在[-1,+∞)上是单调增函数,…(5分)
当x=-1时,f(x)的有极小值也是最小值,f(x)min=0…(6分)
(Ⅱ)令g(x)=f(x)-ax-1=e-x+(e-a)x-1,
则g'(x)=-e-x+(e-a),g(0)=0.…(8分)
(1)当e-a≤0,即a≥e时,g'(x)=-e-x+(e-a)<0,g(x)在(-∞,0]是减函数,
因此当x≤0时,都有g(x)≥g(0)=0,即f(x)-ax-1≥0,f(x)≥ax+1;…(10分)
(2)当a<e时,令g'(x)<0得x<-ln(e-a);令g'(x)>0得x>-ln(e-a),
因此函数g(x)在(-∞,-ln(e-a)]上是减函数,在[-ln(e-a),+∞)上是增函数.
由于对所有x≤0都有f(x)≥ax+1,即g(x)≥g(0)=0成立,
因此-ln(e-a)≥0,e-a≤1,a≥e-1,又a<e,
所以e-1≤a≤e.…(13分)
综上所述,a的取值范围是[e-1,+∞).…(14分)
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