Question

一道与相似有关的数学题

已知，如图，在等边△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，BD=CE，AD与BE交与点F，AB=12，BD=4。求S△BDF：S△BEC。
解：∵△ABC为等边三角形，AB=12，BD=4
∴AB=BC=AC=12，∠A=∠B=∠C=60度
又BD=CE=4
∴△ABD全等于△BCE
∴∠BAD=∠CBE
又∠AFE为△ABF的外角，∠ABC=∠ABE+∠CBE
∴∠BAF+∠ABF=60度
即∠AFE=60度
∵∠AFE=∠BFD
∴∠BFD=60度
∴∠C=∠BFD=60度
∵∠FBD=∠CBE
∴△BFD相似于△BCE
∴BF：BC=BD：BE=DF：EC
∴BD：BE=4：13=1：3
我只解到这一步，后面就不知道怎么做了

Answer 1

解：本题用到一个重要概念：当两个三角形的高相等时，它们面积的比 等于 它们底边的比。

先证明 △ABD ≌ △BCE

在 △ABD 和 △BCE 中，
AB = BC = 12
∠ABD = ∠BCE = 60°
BD = CE = 4
∴△ABD ≌ △BCE （SAS）

∴ S △ABD = S △BCE ---------------------------------------------- ①

下面求△BDF 与 △ABD 的面积关系。

过A 作AG ‖ BC 交 BE 的延长线于点G。
∵ BC ‖ AG
∴ BC ：AG = CE ：EA = 4 ：8 = 1 ：2
而 BD = （1/3）BC
∴ BD ：AG = 1 ：6

∵ BD ‖ AG
∴ DF ：FA = BD ：AG = 1 ：6
∴ DF ：DA = 1 ：7
∴ S △BDF ： S △ABD = 1 ：7 ---------------------------------------- ②

由 ① ② 知，S △BDF ： S △BCE = 1 ：7

Answer 2

答案是1:7吗？？你的过程俺没看懂。。。其实蛮简单的（如果我作对了的话）。。。只要根据等底三角形高之比等于面积之比来做就好。。。连接CF，设三角形BDF面积为a，那么DFC就是2a。再设EFC为b，那么AEF为2b，ABF为1.5b。让后根据三角形ABD和BEC面积相等，可以知道b=4a,所以面积之比为1:7.

如果又看不懂的，可以留言（留上QQ）。

Answer 3

不知道你几年级，有没有学过这个公式，一直两边，求面积，是S=a*b*（sinC）/2你知道了BCE的面积后按比例求出BDF就可以了
对不起没看清题目我写的是求面积的公式~不过我不介意你直接这么求出面积比~不过很雷~
很简单的，面积比你从这公式就能看出来等于边的长度的比的2次方。

Answer 4

其实你已经快要整出来了，就差最后一步了，记住一句话：相似三角形的面积之比等于边长（相似边）之比的平方！理解的话就是面积=边长×边长
本题中已经证明△BFD相似于△BCE，又BD：BE=4：13=1：3（这里化简有问题吧？？？）然后就有S△BDF：S△BEC=（1:3）^2=1:9
那句话要证明其实很简单的，你过F、E分别向边BC做高，能证明两个直角三角形也相似的，于是高之比就是前面的边之比，于是面积之比就是平方，那句话选择填空可以直接用，但解答题就用刚才作辅助线的方法证明下吧