Question

求函数的极值

f(x,y) = 3(x - y) - x(2x² + y² - 2xy) + y³

请给出具体解题过程。

Answer 1

求函数的极值 f(x,y) = 3(x - y) - x(2x² + y² - 2xy) + y³
解:f(x,y) = 3(x - y) - x(2x² + y² - 2xy) + y³=3x-3y-2x³-xy²+2x²y+y³
令∂f/∂x=3-6x²-y²+4xy=0...............(1)
∂f/∂y=-3-2xy+2x²+3y²=0..............(2)
解此方程组,得驻点:(1, 1); (-1, -1); (√(1/6), -√(2/3)); (-√(1/6), √(2/3)).
A=∂²f/∂x²=-12x+4y......................(3)
B=∂²f/∂x∂y=-2y+4x.....................(4)
C=∂²f/∂y²=-2x+6y.......................(5)
将四个驻点的坐标依次代入(3)(4)(5)式,并计算出各点相应的A,B,C值,然后确定各点
的B²-AC的符号.再按以下规则确定各驻点的性质:是极大点,还是极小点,还是非极值点.
B²-AC<0,而A>0时是极小点;而A<0时是极大点.
B²-AC>0时是非极值点.
B²-AC=0时,不能决定.
最后将确是极值点的坐标代入原方程,以求出极值.