Question

正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为AB 的中点，求B到平面A1EC的距离。

答案是三分之根号六

Answer 1

方法：可以从三棱锥A-BCE的体积=三棱锥B-A1EC的体积，来着手计算点B到面A1EC的距离。

解：
因为A1A⊥平面BCE，所以A1A为三棱锥A-BCE的高
三棱锥A-BCE的体积=(1/3)S△BCE·A1A=(1/3)·(1/2)·BE·BC·A1A=(1/2)·1·2·2=2/3
设点B到面A1EC的距离为h，则三棱锥B-A1EC的高为h
过点E作EF⊥A1C于点F。
因为EA1=EC=√(1+4)=√5
所以三角形A1EC为等腰三角形。
由勾股定理得：
A1C1=√(4+4)=2√2
A1C=√(4+8)=2√3
A1F=(1/2)A1C=√3
所以EF=√(5-3)=√2
所以三角形A1EC的面积为S△A1EC=(1/2)·A1C·EF=(1/2)·2√3·√2=√6
所以三棱锥B-A1EC的体积=(1/3)·S△A1EC·h=h·√6/3
由于三棱锥A-BCE的体积=三棱锥B-A1EC的体积
所以2/3=h·√6/3
h=2/√6=√6/3