Question

函数f(x)对一切实数x,y均有f(x)-f(y)=(x+2y+1)x成立，且f(1)=0 (1)求f(0)

(2)当f(x)+2<㏒aⁿ(a上的n是x)，x∈(0.1/2)恒成立时，求a的取值范围

Answer 1

1)令y=1得f(x)=(x+3)*x  f(1)=4与题意矛盾舍去

令y=0 得f(x)=x*(x+1)-2 ，满足题意

所以f(0)=-2

2)由1）知

令t(x)=f(x)+2=x(x+1)如图

 1、若a>1

  t(x)在x∈(0，1/2)在㏒ax上方，舍去

 2、若0<a<1

   t(x)在x∈(0，1/2)为增函数 ㏒ax为减函数

要使...恒成立

则t(1/2)<㏒a(1/2)  解得a>2^(-4/3)

综上得 2^(-4/3)<a<1

Answer 2

令y=1
f(x)-f(1)=(x+2+1)x=x2+3x
所以f(x)=x2+3x
f(0)=0
x2+3x+2<㏒a(x)
设h(x)=㏒a(x)-x2-3x-2>0
h'(x)=1/xlna-2x-3
x∈(0.1/2),h(x)>0
则满足
(1)h'(x)=1/xlna-2x-3>0,且x从正方向趋近于0,h(x)>0,即0<a<1
由前者得1/lna>2x2+3x,
而2x2+3x在x∈(0.1/2)上在（0，2）
1/lna≥2,lna≤1/2,a≤√e
所以0<a<1
(2)h'(x)=1/xlna-2x-3<0,且x从负方向趋近于1/2,h(x)>0,即0<a<1
由前者得1/lna<2x2+3x,
而2x2+3x在x∈(0.1/2)上在（0，2）
1/lna≤0,lna≤0,0<a<1
所以0<a<1

Answer 3

f(x)-f(y)=(x+2y+1),当x=1,y=0时，0-f(0)=1+2*0+1,所以f(0)=-2.

第二问，没看懂。