Question

f(x)=ax+(a-1)/x+1-2a(a>0)若f(x)>=lnx在[1,+无穷大）上恒成立，求a的取值范围

Answer 1

解：f(x)>=lnx,x>=1,恒成立，即：ax+(a-1)/x+1-2a>=lnx,亦即a[x^2-2x+1]>=xlnx-x+1,在x>=1上恒成立。显然当x=1,上式取等号恒成立。当x>1,分离常数a，并记a的表达式为h(x)得：a>=(xlnx-x+1)/(x-1)^2=h(x),于是此恒成立问题便转化为：a>=maxh(x),x>1.求导易得：h'(x)=(2x-xlnx-lnx-2)/(x-1)^3,x>1.下面讨论h'(x)的符号，注意到分母大于零。现在记分子为g(x)=2x-xlnx-lnx-2,x>1.求导易得g'(x)=-lnx<0,x>0,则g(x)在x>1上单减。补充定义g(1)=0,则易知g(x)在x=1连续，于是当x>1,有g(x)<g(1)=0,现在可得h'(x)<0,则有h(x)在x>1上单调递减,于是maxh(x)=(x->1)limh(x)=(x->1)lim(xlnx-x+1)/(x-1)^2=(x->1)lim(xlnx-x+1)'/[(x-1)^2]'=(x->1)lim(1+lnx-1)/[2(x-1)]=(x->1)limlnx/[2(x-1)]=(x->1)lim(lnx)'/[2(x-1)]'=(x->1)lim1/(2x)=1/2.进而得到a>=maxh(x)=1/2，即要使命题恒成立,a的取值范围应为[1/2,+无穷)。（注：在求h(x)的最大值时，我们用到了两次洛必达法则求分子分母为（0比0型）的极限，即分子分母同时求导）本题也可以将lnx移项并构造函数F(x)=f(x)-lnx,再求导，求出驻点，（极）最值，其中需要分类讨论a，并使minF(x)>=0,x>=1.求出满足条件的a范围即可。仅供参考哈。