如图,在锐角三角形ABC中,BC=12,△ABC的面积为48,D,E分别是边AB,AC上的两个动点。(D不与A,B重合)
如图,在锐角三角形ABC中,BC=12,△ABC的面积为48,D,E分别是边AB,AC上的两个动点。(D不与A,B重合)且保持DE〃BC,以DE为边,在点A的异侧,作正方...
如图,在锐角三角形ABC中,BC=12,△ABC的面积为48,D,E分别是边AB,AC上的两个动点。(D不与A,B重合)且保持DE〃BC,以DE为边,在点A 的异侧,作正方形DEFG。
(1)当正方形DEFG的边GF在BC上时,求正方形DEFG的边长。
(2)设DE=x,△ABC与正方形DEFG垂叠部分的面积为y,试求y关于x的涵数关系式,写出x的取值范围,并求出y的最大值。 展开
(1)当正方形DEFG的边GF在BC上时,求正方形DEFG的边长。
(2)设DE=x,△ABC与正方形DEFG垂叠部分的面积为y,试求y关于x的涵数关系式,写出x的取值范围,并求出y的最大值。 展开
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解:(1)当正方形DEFG的边GF在BC上时,如图 (1),过点A作BC边上的高AM,交DE于N,垂足为M. ∵S△ABC=48,BC=12,∴AM=8. ∵DE‖BC,△ADE∽△ABC, ∴, 而AN=AM-MN=AM-DE,∴. 解之得. ∴当正方形DEFG的边GF在BC上时,正方形DEFG的边长为4.8.…3分 (2)分两种情况: ①当正方形DEFG在△ABC的内部时,如图(2),△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为正方形DEFG的面积,∵DE=x,∴,此时x的范围是≤4.8 ②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时, 如图(2),设DG与BC交于点Q,EF与BC交于点P, △ABC的高AM交DE于N, ∵DE=x,DE‖BC,∴△ADE∽△ABC, 即,而AN=AM-MN=AM-EP, ∴,解得. 所以, 即. 由题意,x>4.8,x<12,所以. 因此△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为 (0< x≤4.8) 当≤4.8时,△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为4.82=23.04 当时,因为,所以当时, △ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为. 因为24>23.04, 所以△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为24.
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解:(1)当正方形DEFG的边GF在BC上时,如图
(1),过点A作BC边上的高AM,交DE于N,垂足为M.
∵S△ABC=48,BC=12,∴AM=8.
∵DE‖BC,△ADE∽△ABC,
∴,
而AN=AM-MN=AM-DE,∴.
解之得.
∴当正方形DEFG的边GF在BC上时,正方形DEFG的边长为4.8.…3分
(2)分两种情况:
①当正方形DEFG在△ABC的内部时,如图(2),△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为正方形DEFG的面积,∵DE=x,∴,此时x的范围是≤4.8
②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时,
如图(2),设DG与BC交于点Q,EF与BC交于点P,
△ABC的高AM交DE于N,
∵DE=x,DE‖BC,∴△ADE∽△ABC,
即,而AN=AM-MN=AM-EP,
∴,解得.
所以, 即.
由题意,x>4.8,x<12,所以.
因此△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为
(0< x≤4.8)
当≤4.8时,△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为4.82=23.04
当时,因为,所以当时,
△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为.
因为24>23.04,
所以△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为24.
(1),过点A作BC边上的高AM,交DE于N,垂足为M.
∵S△ABC=48,BC=12,∴AM=8.
∵DE‖BC,△ADE∽△ABC,
∴,
而AN=AM-MN=AM-DE,∴.
解之得.
∴当正方形DEFG的边GF在BC上时,正方形DEFG的边长为4.8.…3分
(2)分两种情况:
①当正方形DEFG在△ABC的内部时,如图(2),△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为正方形DEFG的面积,∵DE=x,∴,此时x的范围是≤4.8
②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时,
如图(2),设DG与BC交于点Q,EF与BC交于点P,
△ABC的高AM交DE于N,
∵DE=x,DE‖BC,∴△ADE∽△ABC,
即,而AN=AM-MN=AM-EP,
∴,解得.
所以, 即.
由题意,x>4.8,x<12,所以.
因此△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为
(0< x≤4.8)
当≤4.8时,△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为4.82=23.04
当时,因为,所以当时,
△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为.
因为24>23.04,
所以△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为24.
参考资料: 初中数学cooco
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(1)当正方形DEFG的边GF在BC上时,如图(1),过点A作BC边上的高AM,交DE于N,垂足为M.
∵S△ABC=48,BC=12,∴AM=8,
∵DE∥BC,△ADE∽△ABC,
∴ DEBC=ANAM,
而AN=AM-MN=AM-DE,∴ DE12=8-DE8,
解之得DE=4.8.
∴当正方形DEFG的边GF在BC上时,正方形DEFG的边长为4.8,
(2)分两种情况:
①当正方形DEFG在△ABC的内部时,
如图(2),△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为正方形DEFG的面积,
∵DE=x,∴y=x2,
此时x的范围是0<x≤4.8,
②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时,
如图(2),设DG与BC交于点Q,EF与BC交于点P,
△ABC的高AM交DE于N,
∵DE=x,DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,
即 DEBC=ANAM,而AN=AM-MN=AM-EP,
∴ x12=8-EP8,解得EP=8- 23x.
所以y=x(8- 23x),即y=- 23x2+8x,
由题意,x>4.8,且x<12,所以4.8<x<12;
因此△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积需分两种情况讨论,
当0<x≤4.8时,△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为4.82=23.04,
当4.8<x<12时,因为 y=-23x2+8x,
所以当 x=-82×(-23)=6时,
△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为二次函数的最大值:y最大═- 23×62+8×6=24;
因为24>23.04,
所以△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为24
∵S△ABC=48,BC=12,∴AM=8,
∵DE∥BC,△ADE∽△ABC,
∴ DEBC=ANAM,
而AN=AM-MN=AM-DE,∴ DE12=8-DE8,
解之得DE=4.8.
∴当正方形DEFG的边GF在BC上时,正方形DEFG的边长为4.8,
(2)分两种情况:
①当正方形DEFG在△ABC的内部时,
如图(2),△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为正方形DEFG的面积,
∵DE=x,∴y=x2,
此时x的范围是0<x≤4.8,
②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时,
如图(2),设DG与BC交于点Q,EF与BC交于点P,
△ABC的高AM交DE于N,
∵DE=x,DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,
即 DEBC=ANAM,而AN=AM-MN=AM-EP,
∴ x12=8-EP8,解得EP=8- 23x.
所以y=x(8- 23x),即y=- 23x2+8x,
由题意,x>4.8,且x<12,所以4.8<x<12;
因此△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积需分两种情况讨论,
当0<x≤4.8时,△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为4.82=23.04,
当4.8<x<12时,因为 y=-23x2+8x,
所以当 x=-82×(-23)=6时,
△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为二次函数的最大值:y最大═- 23×62+8×6=24;
因为24>23.04,
所以△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为24
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当正方形DEFG的边GF在BC上时,如图(1),过点A作BC边上的高AM,交DE于N,垂足为M.
∵S△ABC=48,BC=12,∴AM=8,
∵DE∥BC,△ADE∽△ABC,
∴ DEBC=ANAM,
而AN=AM-MN=AM-DE,∴ DE12=8-DE8,
解之得DE=4.8.
∴当正方形DEFG的边GF在BC上时,正方形DEFG的边长为4.8,
(2)分两种情况:
①当正方形DEFG在△ABC的内部时,
如图(2),△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为正方形DEFG的面积,
∵DE=x,∴y=x2,
此时x的范围是0<x≤4.8,
②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时,
如图(2),设DG与BC交于点Q,EF与BC交于点P,
△ABC的高AM交DE于N,
∵DE=x,DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,
即 DEBC=ANAM,而AN=AM-MN=AM-EP,
∴ x12=8-EP8,解得EP=8- 23x.
所以y=x(8- 23x),即y=- 23x2+8x,
由题意,x>4.8,且x<12,所以4.8<x<12;
因此△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积需分两种情况讨论,
当0<x≤4.8时,△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为4.82=23.04,
当4.8<x<12时,因为 y=-23x2+8x,
所以当 x=-82×(-23)=6时,
△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为二次函数的最大值:y最大═- 23×62+8×6=24;
因为24>23.04,
所以△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为24.
∵S△ABC=48,BC=12,∴AM=8,
∵DE∥BC,△ADE∽△ABC,
∴ DEBC=ANAM,
而AN=AM-MN=AM-DE,∴ DE12=8-DE8,
解之得DE=4.8.
∴当正方形DEFG的边GF在BC上时,正方形DEFG的边长为4.8,
(2)分两种情况:
①当正方形DEFG在△ABC的内部时,
如图(2),△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为正方形DEFG的面积,
∵DE=x,∴y=x2,
此时x的范围是0<x≤4.8,
②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时,
如图(2),设DG与BC交于点Q,EF与BC交于点P,
△ABC的高AM交DE于N,
∵DE=x,DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,
即 DEBC=ANAM,而AN=AM-MN=AM-EP,
∴ x12=8-EP8,解得EP=8- 23x.
所以y=x(8- 23x),即y=- 23x2+8x,
由题意,x>4.8,且x<12,所以4.8<x<12;
因此△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积需分两种情况讨论,
当0<x≤4.8时,△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为4.82=23.04,
当4.8<x<12时,因为 y=-23x2+8x,
所以当 x=-82×(-23)=6时,
△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为二次函数的最大值:y最大═- 23×62+8×6=24;
因为24>23.04,
所以△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为24.
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