Question

如图，在锐角三角形ABC中，BC=12，△ABC的面积为48，D，E分别是边AB，AC上的两个动点。（D不与A，B重合）

如图，在锐角三角形ABC中，BC=12，△ABC的面积为48，D，E分别是边AB，AC上的两个动点。（D不与A，B重合）且保持DE〃BC,以DE为边，在点A 的异侧，作正方形DEFG。

（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，求正方形DEFG的边长。

（2）设DE=x，△ABC与正方形DEFG垂叠部分的面积为y，试求y关于x的涵数关系式，写出x的取值范围，并求出y的最大值。

Answer 1

解：

（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时

DE/BC=（8-DE）/8；可知此时DE=4.8

（2）设DE=x，△ABC与正方形DEFG垂叠部分的面积为y，

根据题意，D不与A，B重合，故0<x<12

当0<x≤4.8，y=x^2 ，最大值为23.04；

当4.8<x≤12，△ABC与正方形DEFG垂叠部分高度为d

则x/12=（8-d）/8，故d=（24-2x）/3；

y=xd=x（24-2x）/3；

最大值为抛物线顶点，x=6，y=24；

所以x的取值范围为：0<x<12

当0<x≤4.8，y=x^2；

当4.8<x≤12，y=xd=x（24-2x）/3；

垂叠部分的面积y最大值为24；

Answer 2

解：（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，如图 （1），过点A作BC边上的高AM，交DE于N，垂足为M. ∵S△ABC=48，BC=12，∴AM=8. ∵DE‖BC，△ADE∽△ABC, ∴， 而AN=AM－MN=AM－DE，∴. 解之得. ∴当正方形DEFG的边GF在BC上时，正方形DEFG的边长为4.8.…3分 （2）分两种情况： ①当正方形DEFG在△ABC的内部时，如图（2），△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为正方形DEFG的面积，∵DE=x，∴，此时x的范围是≤4.8 ②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时， 如图（2），设DG与BC交于点Q，EF与BC交于点P， △ABC的高AM交DE于N， ∵DE=x，DE‖BC，∴△ADE∽△ABC, 即，而AN=AM－MN=AM－EP, ∴，解得. 所以, 即. 由题意，x>4.8，x<12,所以. 因此△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为 (0< x≤4.8) 当≤4.8时，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为4.82=23.04 当时，因为，所以当时， △ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为. 因为24>23.04， 所以△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为24.

Answer 3

解：（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，如图

（1），过点A作BC边上的高AM，交DE于N，垂足为M.

∵S△ABC=48，BC=12，∴AM=8.

∵DE‖BC，△ADE∽△ABC,

∴，

而AN=AM－MN=AM－DE，∴.

解之得.

∴当正方形DEFG的边GF在BC上时，正方形DEFG的边长为4.8.…3分

（2）分两种情况：

①当正方形DEFG在△ABC的内部时，如图（2），△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为正方形DEFG的面积，∵DE=x，∴，此时x的范围是≤4.8

②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时，

如图（2），设DG与BC交于点Q，EF与BC交于点P，

△ABC的高AM交DE于N，

∵DE=x，DE‖BC，∴△ADE∽△ABC,

即，而AN=AM－MN=AM－EP,

∴，解得.

所以, 即.

由题意，x>4.8，x<12,所以.

因此△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为

(0< x≤4.8)

当≤4.8时，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为4.82=23.04

当时，因为，所以当时，

△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为.

因为24>23.04，

所以△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为24.

Answer 4

（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，如图（1），过点A作BC边上的高AM，交DE于N，垂足为M．
∵S△ABC=48，BC=12，∴AM=8，
∵DE∥BC，△ADE∽△ABC，
∴ DEBC=ANAM，
而AN=AM-MN=AM-DE，∴ DE12=8-DE8，
解之得DE=4.8．
∴当正方形DEFG的边GF在BC上时，正方形DEFG的边长为4.8，

（2）分两种情况：
①当正方形DEFG在△ABC的内部时，
如图（2），△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为正方形DEFG的面积，
∵DE=x，∴y=x2，
此时x的范围是0＜x≤4.8，
②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时，
如图（2），设DG与BC交于点Q，EF与BC交于点P，
△ABC的高AM交DE于N，
∵DE=x，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
即 DEBC=ANAM，而AN=AM-MN=AM-EP，
∴ x12=8-EP8，解得EP=8- 23x．
所以y=x（8- 23x），即y=- 23x2+8x，
由题意，x＞4.8，且x＜12，所以4.8＜x＜12；
因此△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积需分两种情况讨论，
当0＜x≤4.8时，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为4.82=23.04，
当4.8＜x＜12时，因为 y=-23x2+8x，
所以当 x=-82×(-23)=6时，
△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为二次函数的最大值：y最大═- 23×62+8×6=24；
因为24＞23.04，
所以△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为24

Answer 5

当正方形DEFG的边GF在BC上时，如图（1），过点A作BC边上的高AM，交DE于N，垂足为M．
∵S△ABC=48，BC=12，∴AM=8，
∵DE∥BC，△ADE∽△ABC，
∴ DEBC=ANAM，
而AN=AM-MN=AM-DE，∴ DE12=8-DE8，
解之得DE=4.8．
∴当正方形DEFG的边GF在BC上时，正方形DEFG的边长为4.8，

（2）分两种情况：
①当正方形DEFG在△ABC的内部时，
如图（2），△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为正方形DEFG的面积，
∵DE=x，∴y=x2，
此时x的范围是0＜x≤4.8，
②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时，
如图（2），设DG与BC交于点Q，EF与BC交于点P，
△ABC的高AM交DE于N，
∵DE=x，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
即 DEBC=ANAM，而AN=AM-MN=AM-EP，
∴ x12=8-EP8，解得EP=8- 23x．
所以y=x（8- 23x），即y=- 23x2+8x，
由题意，x＞4.8，且x＜12，所以4.8＜x＜12；
因此△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积需分两种情况讨论，
当0＜x≤4.8时，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为4.82=23.04，
当4.8＜x＜12时，因为 y=-23x2+8x，
所以当 x=-82×(-23)=6时，
△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为二次函数的最大值：y最大═- 23×62+8×6=24；
因为24＞23.04，
所以△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为24．