Question

一道高三数学函数题

f(x)=x^2+a*ln(1+x)有两个极值点x1 x2，且x1＜x2
（1）求a的取值范围，并讨论f(x)的单调性
（2）证明：f（x2）＞（1-2ln2）/4

Answer 1

1.f’(x)=2x+a/(1+x)=0,2x^2+2x+a=0有不等的实根，4-8a>0,a<1/2。
x1=[-1-√(1-2a)]/2,x2=[-1+√(1-2a)]/2,
a≤0时x1≤-1,不在f(x)的定义域内，所以a取值范围是(0,1/2).
-1<x1,x1<x<x2时f’(x)<0,[x1,x2]是f(x)的减区间；x>x2或-1<x<x1时f’(x)>0,[x2,+∞)或(-1,x1)是f(x)的增区间;

2.设：t=√(1-2a),则0<t<1,a=(1-t^2)/2,x2=(t-1)/2,
f(x2)=[(t-1)/2]^2+[(1-t^2)/2]ln[(t+1)/2],记为g(t)。
g’(t)=(t-1)/2+(1-t^2)/(t+1)-2tln[(t+1)/2]=(1-t)/2-2tln[(t+1)/2]>0,
∴g(t)>g(0)=1/4+(1/2)ln(1/2)= (1-2ln2)/4,
即f(x2)> (1-2ln2)/4.

Answer 2

求导数，令其等于0。方程有两个不相同解，可以求出a的范围以及单调性。证明应该会用到放缩，没时间想了。