Question

数学数列的题

已知数列｛an｝满足a0=1/2,an=a(n-1)+1/n^2 *a^2(n-1)

求证1/a(n-1) —1/an＜1/n^2
还有最后一个(n+1)/(n+2)＜an＜n怎么证呢？

Answer 1

求证 1/a(n-1)-1/an<1/n^2
a[n]=a[n-1]+a[n-1]^2/n^2>a[n-1]
n^2(a[n]-a[n-1])=a[n-1]^2
所以1/a[n-1]-1/a[n]
=(a[n]-a[n-1])/a[n]a[n-1]
=a[n-1]/n^2[an]<1/n^2
即：1/a[n-1]-1/a[n]<1/n^2
得证。(n+1)/(n+2)<an<n
数学归纳法：
n=1时，
a[1]代入得：(n+1)/(n+2)<a[1]<n成立。
设n=k时，(k+1)/(k+2)<a[k]<k成立，
则：n=k+1时，
a[k+1]=a[k]+a[k]^2/(k+1)^2
<k+k^2/(k+1)^2=k+1
>(k+1)/(k+2)+1/(k+2)^2
=(k^2+3k+3)/(k+2)^2
(k^2+3k+3)/(k+2)^2>(k+2)/(k+3)
即：(k+2)^3<(k^2+3k+3) (k+3)
K^3+6k^2+12k+8<k^3+6k+12k+9——成立！
所以(k+2)/(k+3)<a[k+1]<k+1
即对n=N，(n+1)/(n+2)<an<n都成立！
莪才刚上初一，不懂滴说~这是百度上搜来的，不知道对不对。。