Question

已知抛物线y=ax的平方（a>0)上有两点A，B其横坐标分别为-1,2,探究a的取值情况

Answer 1

把A，B两点的横坐标分别代入y=ax^2
可得A，B两点的坐标分别为(-1,a),(2,4a)
AB^2=(2+1)^2+(4a-a)^2=9+9a^2
OA^2=(-1)^2+a^2=1+a^2
OB^2=2^2+(4a)^2=4+16a^2
根据三条边的表达式可以判断,OA最小,不可能为斜边
三角形为直角三角形有两种可能
AB^2+OA^2=OB^2
OB^2+OA^2=AB^2
9+9a^2+1+a^2=4+16a^2 得a=-1(舍弃)，a=1
4+16a^2+1+a^2=9+9a^2 得a=-√2/2(舍弃),a=√2/2

所以当a为1或√2/2时，三角形AOB为直角三角形

Answer 2

由题意可得A点纵坐标为yA=a ,B点纵坐标为yB=4a所以A(2,4a) B(-1,a) O(0,0) 因为AB²=[2-(-1)]²+(4a-a)²=9a²+9
AO²=16a²+4 BO²=4a²+1
如果△ABC为直角三角形(i)若∠BAO=90° BO²=AB²+AO²
则4a²+1 =4a²+9+16a²+4 ==> 无解

(ii)若∠ABO=90° AO²=AB²+BO²
则16a²+4 =4a²+9+4a²+1 ==>因为a>0 ==>a=√3/2

(iii)若∠AOB=90° AB²=AO²+BO²
则4a²+9=4a²+1+16a²+4==>有因为a>0 ==>a=1/2