Question

已知圆 C：x的平方+y的平方-8y+12=0 和 直线 i：mx+y+2m+0。

求：（1）当m为何值时，直线i与圆c相切；
（2）当直线i与圆c相交于A、B两顶，且AB=2倍根号2时，求直线i的方程

Answer 1

（1）
x^2 + y^2 -8y +12=0
y=-mx-2m
代入圆的方程：
x^2+(mx+2m)^2+8(mx+2m)+12=0
(m^2+1)x^2 + (4m^2 +8m)x +4m^2 +16m +12=0
直线i与圆c相切
则：
△=(4m^2 +8m)^2 - 4*(m^2+1)(4m^2 +16m +12)=0
(m^2+2m)^2 - (m^2+1)(m^2+4m+3)=0
m^4+4m^3+4m^2-m^4-m^2-4m^3-4m-3m^2-3=0
-4m-3=0
m=-3/4

(2)
直线i与圆c相交于A、B两顶
∴△>0
m<-3/4

C：x^2 + (y-4)^2=4
圆心：(0，4)
半径：2
AB=2√2
则半径和AB围成了一个等腰直角三角形。
圆心到AB的距离等于√2
由距离公式：
√2=（0*m + 4 +2m)/(√(m^2+1))
2(m^2+1)=4(4+4m+m^2)
m^2+1=8+8m+2m^2
m^2+8m+7=0
m=-1 or m=-7
L：y=x+2
or y=7x+14