Question

几个数学高考题,求详解

已知一条曲线C在Y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到Y轴的距离的差都是1.
(1)求曲线C的方程
(2)是否存正数m,对于过点M(m.0)且与曲线C有两个交点A.B的任一直线,都有向量FA·向量FB<0?若存在,求出m的取值范围.若不存在,请说明理由
二
已知定点A(-1,0)F(2,0),定直线l:x=1/2,不在X轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍,设点P的轨迹为E,过点F的直线交E于B\C两点.直线AB,AC分别交l于M,N
(1,求E的方程
(2 试判断以线段MN为直径的圆是否过点F,并说明理由
给正规的解题步骤，谢谢啦~~

Answer 1

1):y=[(x-1)^2-1]/2,x>0
2):假设存在设直线:y=k(x-m)
联立C
x^2-2x(k+1)+2km-1=0
得到:x1+x2=2+2k.x1x2=2km-1
(FA)*(FB)=(x1-1)(x2-1)+k^2*(x1-m)(x2-m)=(m^2-2m-1)*k^2+(2m-2)k-2<0
只需m^2-2m-1<0.△<0即可(开口向下，与x轴无交点即可)
解得:(3+2√3)/3>m>(3-2√3)/3

设p（x，y），则（x-2）2 +y2 = (|x-1/2| *2)2
化简得：y2 +3=3x 2

设过F的直线为 y=k（x-2）
则联立y=k（x-2）
y2 +3=3x 2
化简得 （k2 -3）x 2-4k2 x +4k2 +3=0
设B（X1，Y1）,C(X2，Y2)
由韦达定理得
X1+X2=4 k2 /( k2 -3) ①
X1X2=(4 k2 +3)/( k2 -3) ②
故Y1Y2= k（X1-2）* k（X2-2）=-9 k2 /( k2 -3) ③

设直线AB: y =k1(x-1),将A(1,0), B（X1，Y1）代入得，k1=Y1/(X1-1)
故AB: y= Y1/(X1-1) (x-1)
故M( 0.5,-0.5 Y1/(X1-1) ),同理，N( 0.5,-0.5 Y2/(X2-1) )

向量MF(1.5，Y1/2(X1-1) ),向量NF(1.5，Y2/2(X2-1) )
则 向量MF 点积 向量NF =1.5*1.5+ Y1/2(X1-1)* Y2/2(X2-1)
将①②③代入得 =9/4+[-9 k2 /( k2 -3)] / [4 k2 /( k2 -3)]=0
故MF垂直 NF
即以线段MN为直径的圆过点F。
就是解答第二题去网站找了下答案