Question

高手~！！向量问题~！

数学高手进~！！
已知向量lOAl=1，向量lOBl=k,角AOB=三分之二π，点C在角AOB内，向量OC乘以向量OA=0，若向量OC=2m倍的OA+m倍向量OB，则K=?

Answer 1

【1】
由题设，作图如下：
①作∠AOB=120º。（依据是∠AOB=2π/3）
②在∠AOB内，作射线OC⊥OA。（依据是向量OA•向量OC=0）
③在射线OC上选一定点作为点C。
④过定点C作CA′‖OB，交射线OA于点A′，
再过定点C作CB′‖OA，交射线OB于点B′。
则四边形OA′CB′为平行四边形。（平行四边形定义）
【2】
解：①由作法及“向量加法的平行四边形法则”可知：
向量OC=向量OA′+向量OB′。
②易知，Rt⊿OA′C≌Rt⊿CB′O.且∠COB′=∠OCA′=30º.
∴|OB′|=|A′C|=2|OA′|.
③∵向量OC=2m向量OA+m向量OB。（已知）
又向量OC=向量OA′+向量OB′（作法）
∴OA′+OB′=2mOA+mOB.
∴(OA′-2mOA)+(OB′-mOB)=0(向量)
∵向量（OA′-2mOA）与向量（OB′-mOB）不共线，而其和=0（向量）
∴只能有OA′=2mOA.且OB′=mOB.又|OA|=1.且|OB|=k.
∴|OA′|=|2mOA|=2m.且|OB′|=|mOB|=mk
又由②：|OB′|=2|OA′|。
∴mk=2×2m=4m.即mk=4m.
∴k=4.

Answer 2

以O为原点，向量OA为x轴正方向建立直角坐标系
则由题意可知向量OA=(1,0)，向量OB=(-k/2，√3k/2)
向量OC=2m倍向量OA+m倍向量OB=(2m-km/2，√3km/2)
向量OC乘以向量OA=2m-km/2=0，∴k=4