Question

已知一个直角三角形纸片oab，其中∠aob=90°，oa=2，ob=4.将该纸片放置在平面直角坐标系中（如图①）。

(1)求经过A,B两点的一次函数解析式
（2）折叠该纸片，是点B与点A重合，折痕与边OB交于点才，与边AB交于点D（如图②），求点C的坐标
（3）
①若p为三角形OAB内一点,其坐标p（0.5,1），过点p作x轴的平行线交AB于M，作y轴的平行线交AB于N（如图③），求点M,N的坐标，并求PM+PN的长；
②若p为OB上一动点，设OA的中点为E,AB的中点为F（1,2），（如图④），求PE+PF的最小值，并求取得最小值时P的坐标
特别是第三题，要详细过程哦。

Answer 1

(1) A(2,0),B(0,4),AB:y=4-2x
(2) D(1,2),CD:y=(x+3)/2
C(0,3/2)
(3) ①M(1.5,1),N(0.5,3),PM+PN=(1.5-0.5)+(3-1)=3
②设P(0,y),PE=根号(1+y^2),PF=根号(1+(2-y)^2),
PE+PF的最小值＝2根号2 ,P(0,1)

(PE+PF)^2=(1+y^2)+(1+(2-y)^2)+2根号[(1+y^2)(1+(2-y)^2)]
=2(y-1)+4+2根号[(1+y^2)(1+(2-y)^2)]
4+2根号[(1+y^2)(1+(2-y)^2)]>0,只有当y=1时 (PE+PF)^2最小