Question

如图,在正方形ABCD中,M是AB上任意一点,DM垂直MN,MN交角CBE的平分线于N.求证:MD=MN.

Answer 1

首先过N作AB延长线的垂线，交AE于Q
因为角DMN是直角所以角ADM=角NMQ
所以三角形DAM 和 MNQ相似
又因为BN是角平分线，
所以角NBQ=BNQ=45°
所以NQ=BQ而AM:AD=1:2
所以NQ:MQ=1：2
由此可知B为MQ的中点
所以ME=AD
所以三角形DAM 和 MNQ全等，
所以MD=NM

Answer 2

在AD上取点F，使得AF=AM，所以DF=BM。连接MF
∠AFM=∠AMF=45°，∠DFM=135°，∠MBN=90+45=135°
∠ADM+∠AMD=90°，∠AMD+∠BMN=90°，所以∠ADM=∠BMN
在△DFM与△MBN中，∠FDM=∠BMN，DF=MB，∠DFM=∠MBN，所以△DFM≌△MBN，MD=MN