Question

如图，等腰梯形ABCD中，AB‖CD，AB=4，CD=12，∠C=60°，动点P从点C出发沿C→D方向向终点D运动，动点Q同时

Answer 1

解：（1）解法一：如图1
过A作AE⊥CD，垂足为E．
依题意，DE=$\frac{9-4}{2}$=$\frac{5}{2}$．
在Rt△ADE中，AD=$\frac{DE}{cos60°}$=$\frac{5}{2}×2=5$．
解法二：如图2
过点A作AE‖BC交CD于点E，则CE=AB=4．
∠AED=∠C=60度．
又∵∠D=∠C=60°，
∴△AED是等边三角形．
∴AD=DE=9-4=5．

（2）如图1
∵CP=x，h为PD边上的高，依题意，
△PDQ的面积S可表示为：
S=$\frac{1}{2}$PD•h=$\frac{1}{2}$（9-x）•x•sin60°
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（9x-x2）=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x-$\frac{9}{2}$）2+$\frac{81\sqrt{3}}{16}$．
由题意，知0≤x≤5．
当x=$\frac{9}{2}$时（满足0≤x≤5），S最大值=$\frac{81\sqrt{3}}{16}$．

（3）如图4
存在满足条件的点M，则PD必须等于DQ．
于是9-x=x，x=$\frac{9}{2}$．
此时，点P、Q的位置如图25-4所示，△PDQ恰为等边三角形．
过点D作DO⊥PQ于点O，延长DO交BC于点M，连接PM、QM，则DM垂直平分PQ，∴MP=MQ．
易知∠1=∠C．
∴PQ‖BC．
又∵DO⊥PQ，
∴MC⊥MD
∴MP=$\frac{1}{2}$CD=PD
即MP=PD=DQ=QM
∴四边形PDQM是菱形
所以存在满足条件的点M，且BM=BC-MC=5-$\frac{9}{2}$=$\frac{1}{2}$．