⊙O与⊙O′都经过A,B两点,AC是⊙O′的切线交⊙O于点C,AD是⊙O的切线,交⊙′于点D,求证：AB²=BC×BD
⊙O与⊙O′都经过A,B两点,AC是⊙O′的切线交⊙O于点C,AD是⊙O的切线,交⊙O′于点D,求证：AB²=BC×BD...
⊙O与⊙O′都经过A,B两点,AC是⊙O′的切线交⊙O于点C,AD是⊙O的切线,交⊙O′于点D,求证：AB²=BC×BD
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证明：在三角形ABC与三角形ABD中
∵ AC是⊙O′的切线交⊙O于点
∴ ∠CAB=∠ADB（圆切角等于它所夹弧上对应的圆周角）①
∵ AD是⊙O的切线,交⊙O′于点D
∴ ∠DAB=∠ACB（圆切角等于它所夹弧上对应的圆周角）②
由①②得 三角形ABC∽三角形ABD(两个角对应相等的两个三角形相似)
从而 AB:BC=BD:AB
∴AB²=BC×BD
∵ AC是⊙O′的切线交⊙O于点
∴ ∠CAB=∠ADB（圆切角等于它所夹弧上对应的圆周角）①
∵ AD是⊙O的切线,交⊙O′于点D
∴ ∠DAB=∠ACB（圆切角等于它所夹弧上对应的圆周角）②
由①②得 三角形ABC∽三角形ABD(两个角对应相等的两个三角形相似)
从而 AB:BC=BD:AB
∴AB²=BC×BD
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