Question

数学题目。在线等

1.1×2+2×3+3×4+……+10×11（写出过程）

2.1×2+2×3+3×4+……+n×（n+1）=_________

3.1×2×3+2×3×4+3×4×5+……+7×8×9=_________

Answer 1

求和：l×2＋2×3＋3×4＋…＋9×10．
解：通过这个题，学“裂项”。看：
1×2＝1×2×3÷3；2×3＝2×3×3÷3＝（2×3×4－1×2×3）÷3；
3×4＝3×4×3÷3＝（3×4×5－2×3×4）÷3……
可以发现：n×（n＋1）×3÷3＝〔n×（n＋1）×（n＋2）－（n－1）×n×（n＋1）〕÷3
于是原式＝（1×2×3＋2×3×4－1×2×3＋3×4×5－2×3×4＋…＋9×10×11－8×9×10）÷3
＝9×10×11÷3＝330
注意隔位抵消

参考一下 1*2+2*3+3*4+…+n(n+1)
=（1平方+1）+（2平方+2）+（3平方+3）+.......+（n平方+n）
=（1的平方+2的平方+3的平方+.....+n的平方）+（1+2+3+....+n）
=[n(n+1)(2n+1)/6]+[n(1+n)/2]
=n(n+1)(n+2)/3n*(n+1)*(n+2) = [n*(n+1)*(n+2)*(n+3) - (n-1)*n*(n+1)*(n+2)]/4
n(*n+1) = [n*(n+1)*(n+2) - (n-1)*n*(n+1)]/3

1*2*3+2*3*4+3*4*5+…+7*8*9 = [1*2*3*4 - 0*1*2*3 + 2*3*4*5 - 1*2*3*4 + … + 7*8*9*10 - 6*7*8*9]/4
= 7*8*9*10/4 = 1260

1*2+2*3+3*4+…+n*(n+1) = [1*2*3 - 0*1*2 + 2*3*4 - 1*2*3 + … n*(n+1)*(n+2) - (n-1)*n*(n+1)]/3 = n*(n+1)*(n+2) / 3