Question

三道奥数题（要过程，好的加分）

1.已知a²-a+1=0，求a^2010+1/a^2010的值。
2.已知实数a、b满足ab≠0，且（a²+b²）³=（a³+b³）²+8a³b³，求b/a+a/b的值。
3.已知正实数x、y、z、w满足2007x²=2008y²=2009z²=2010w²，且1/x+1/y+1/z+1/w=1，求 根号2007x+2008y+2009z+2010w 的值。

Answer 1

解：
1、
a^2-a+1=0
a+1/a=1
a^2010+1/a^2010
=(a^2009+1/a^2009)(a+1/a)-a^2008-1/a^2008
=a^2009+1/a^2009-a^2008-1/a^2008
=(a^2008+1/a^2008)(a+1/a)-a^2008-1/a^2008-a^2007-1/a^2007
=-(a^2007+1/a^2007)
=-(a^2006+1/a^2006)(a+1/a)+a^2005+1/a^2005
=-(a^2005+1/a^2005)(a+1/a)+a^2004+1/a^2004+a^2005+1/a^2005
=a^2004+1/a^2004
=……
规律：每一步推导可以将指数减小3，同时变号。指数为偶数时为正，指数为奇数时为负。
2010/3=670
a^2010+1/a^2010
=-(a^3+1/a^3)
=-(a+1/a)(a^2-1+1/a^2)
=-[(a+1/a)^2-3]
=2
附带说一句：这题楼上解错了，用a^6+1/a^6验证就知道他解得不对。
2、
(a^2+b^2)^3=(a^3+b^3)^2+8a^3b^3
a^6+3a^4b^2+3a^2b^4+b^6=a^6+10a^3b^3+b^6
3a^4b^2+3a^2b^4=10a^3b^3
3(a/b)+3(b/a)=10
(a/b)+(b/a)=10/3
3、
令2007x^2=2008y^2=2009z^2=2010w^2=t
则x=√(t/2007) y=√(t/2008) z=√(t/2009) w=√(t/2010)
1/x+1/y+1/z+1/w=1
(√2007+√2008+√2009+√2010)/√t=1
√t=√2007+√2008+√2009+√2010
√(2007x+2008y+2009z+2010w)
=√[√(2007t)+√(2008t)+√(2009t)+√(2010t)]
=√[√t(√2007+√2008+√2009+√2010)]
=√(√2007+√2008+√2009+√2010)^2
=√2007+√2008+√2009+√2010

Answer 2

1.a^2-a+1=0，显然a≠-1
所以 (a+1)(a^2-a+1)=0
有 a^3+1=0,即 a^3=-1
a^2010=(a^3)^670=1
所以 a^2010+1/a^2010=1+1/1=2
2. (a^2+b^2)^3=(a^3+b^3)^3+8a^3*b^3
展开 a^6+3a^2b^4+3a^4b^2+b^6=a^6+2a^3b^3+b^6+8a^3*b^3
整理有 3a^2b^4+3a^4b^2=10a^3*b^3
即 3(a^2+b^2)=10ab
两边同除以ab，有 a/b+b/a=10/3
3.令2007x^2=2008y^2=2009z^2=2010w^2=t^2
1/x=(√2007)/t
1/y=(√2008)/t
1/z=(√2009)/t
1/w=(√2010)/t
这4个式子相加 有 (√2007+√2008+√2009+√2010)/t=1
即 t=(√2007+√2008+√2009+√2010)
同时，有
2007x=t*√2007
2008y=t*√2008
2009z=t*√2009
2010w=t*√2010
这4个式子相加 有 2007x+2008y+2009z+2010w=t*(√2007+√2008+√2009+√2010)=t^2
所以 √(2007x+2008y+2009z+2010w)=√t^2=t=(√2007+√2008+√2009+√2010)

Answer 3

1.答案是1
由题知a²+1=a，
a^2010+1/a^2010=[(a^2010)^2+1]/(a^2010)
令a^2010=x,
原式=（x^2+1)/x=x/x=1

2.答案是8/3
原题为了 （a²+b²）（a²+b²）（a²+b²）=（a³+b³）（a³+b³）+8a³b³
两边同除以a³得，（1+ b²/ a²）（a+b²/a）（a²+b²）=(1+ b³/ a³)（a³+b³）+8b³
两边同除以b³得,（1+ b²/ a²）（a/b+b/a）（a²/ b²+1）=(1+ b³/ a³)（a³/ b³+1）+8
整理得：3（a/b+b/a）=8
所以，（a/b+b/a）=8/3

3.答案是√2007+√2008+√2009+√2010
∵2007x²=2008y²=2009z²=2010w²
∴√2007 x=√2008 y=√2009 z=√2010 w
∴y=√2007/√2008 x , z=√2007/√2009 x, w=√2007/√2010 x
又1/x+1/y+1/z+1/w=1
有:1/x + 1/(√2007/√2008 x)+1/(√2007/√2009 x)+1/(√2007/√2010 x)=1
∴x=(√2007+√2008+√2009+√2010)/√2007
y=(√2007+√2008+√2009+√2010)/√2008
z=(√2007+√2008+√2009+√2010)/√2009
w=(√2007+√2008+√2009+√2010)/√2010
∴根号2007x+2008y+2009z+2010w =√2007+√2008+√2009+√2010

Answer 4

1.a^2-a+1=0
这题a无解
2.展开 a^6+3a^4*b^2+3a^2*b^4+b^6=a^6+2a^3*b^3+b^6+8a^3*b^3
既得3a^4*b^2+3a^2*b^4=10a^3*b^3,俩边同时除以a^3*b^3
得到3a/b+3b/a=10，即b/a+a/b=10/3
3.令m=2007x^2=2008y^2=2009z^2=2010w^2,则x=√(m/2007) y=√(m/2008) z=√(m/2009) w=√(m/2010)
1/x+1/y+1/z+1/w=1
(√2007+√2008+√2009+√2010)/√m=1
√t=√2007+√2008+√2009+√2010
√(2007x+2008y+2009z+2010w)
=√[√(2007m)+√(2008m)+√(2009m)+√(2010m)]
=√[√m(√2007+√2008+√2009+√2010)]
=√[(√2007+√2008+√2009+√2010)^2]
=√2007+√2008+√2009+√2010
新年快乐