Question

关于2道数学题，，高二的

1.过点P（0，4）作圆X^2+Y^2=4的切线L，若L与抛物线Y^2=2PX（P>0)交于两点A,B 且OA垂直OB，求抛物线的方程。

2.已知中心在原点O，焦点在X轴上，离心率为√3/2的椭圆过点（√2，√2/2）。设不过原点O的直线L与该椭圆交于P,Q两点，满足直线OP,PQ.OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ的面积的取值范围。

Answer 1

1.因为过点P（0，4）的直线方程为y=kx+4
又因为该直线与圆X^2+Y^2=4相切，
所以圆心到该直线的距离恰为半径2
所以|4|/√（1+k^2）=2
解得k=±√3，
把直线方程y=±√3x+4代入Y^2=2PX得
3x^2±8√3x+16=2Px
设A（x1，y1）B（x2，y2）
则x1x2=16/3,
因为y1^2=2Px1 和y2^2=2Px2.
所以（y1y2）^2=4P^2*x1x2=64P^2/3
所以y1y2=±8√3P/3
又因为OA垂直OB
所以x1x2+y1y2=0
所以16/3±8√3P/3=0
所以P=±2√3/3
因为P>0，所以P=2√3/3
所以抛物线的方程为Y^2=4√3x/3。

2.因为椭圆中心在原点O，焦点在X轴上，所以设该椭圆为x^2/a^2+y^2/b^2=1
所以a>b>0
因为离心率为e=√3/2=c/a=√（a^2-b^2）/a
所以a=2b
又因为点（√2，√2/2）在椭圆上，把该点代入椭圆方程可解得
b=1，所以a=2.
所以椭圆方程为x^2/4+y^2=1
设不过原点O的直线L与该椭圆交于P（x1，y1）,Q（x2,y2）两点
设直线l为y=kx+b,代入椭圆方程，
化简得
（1+4k^2）x^2+8bkx+4（b^2-1）=0
所以x1x2=4（b^2-1）/（1+4k^2）
x1+x2=-8bk/（1+4k^2）
所以y1+y2=kx1+b+kx2+b=k（x1+x2）+2b=2b/（1+4k^2）
y1y2=（kx1+b）（kx2+b）=k^2x1x2+bk（x1+x2）+b^2=（b^2-4k^2）/（1+4k^2）
因为直线OP的斜率为y1/x1，直线PQ的斜率为k=（y2-y1）/（x2-x1）
直线OQ的斜率为y2/x2.
且直线OP,PQ.OQ的斜率依次成等比数列
所以（y1/x1）（y2/x2）=k^2
所以y1y2=k^2x1x2.
所以（b^2-4k^2）/（1+4k^2）=4k^2（b^2-1）/（1+4k^2）
所以k^2=1/4.
所以直线l：y=±x/2+b
设d为点O到直线PQ的距离
所以d=|b|/√（1+k^2）.
因为|x2-x1|=√[x1+x2）^2-4x1x2]=√[x1+x2）^2-4x1x2]=√（8-4b^2）
|PQ|=|x2-x1|*√（1+k^2）=√（8-4b^2）*√（1+k^2）
所以S△OPQ=1/2*d*|PQ|=1/2*|b|*√（8-4b^2）
设M=|b|*√（8-4b^2）
所以M^2=b^2*（8-4b^2）
化简得4b^4-8b^2+M^2=0
由Δ=64-4*4*M^2≥0
得M≤2.
因为M是非负数，所以M≥0
若M=0，则b=0或者b^2=2
当b=0是，直线l过原点，不符合题意。
当b^2=2时，则（1+4k^2）x^2+8bkx+4（b^2-1）=0可化为（x±√2）^2=0
此时P,Q为同一点，不符合题意中△OPQ。
所以0<M≤2
所以0<S△OPQ=1/2M≤1.