Question

已知G是△ABC的重心，∠A=120°，AB*AC=-2，则AG的模的最小值为

已知点G是三角形ABC重心,若角A=120度,向量ABX向量AC=-2,则|向量AG|的最小值为?
当AG取最小值时，BC=_______

详细的解题过程
谢谢

Answer 1

已知点G是三角形ABC重心
AG=1/3(AB+AC)
若角A=120度,向量ABX向量AC=-2
向量ABX向量AC=-2=|AB|*|AC|*cosA=-1/2|AB|*|AC|
|AB|*|AC|=4
|AG|^2=1/9[|AB|^2+2|AB|*|AC|*cosA+|AC|^2]
=1/9[|AB|^2+|AC|^2-|AB|*|AC|]
由均值不等式得
|AG|^2=1/9[|AB|^2+|AC|^2-|AB|*|AC|]>=1/9(2|AB|*|AC|-|AB|*|AC|)=4/9
不等式取等当且近当|AB|=|AC|
那么|AB|=|AC|=2
|BC|=sqrt(3)|AB|=2sqrt(3)
注
sqrt=square root=根号下