Question

如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中AD‖BC，∠ABC=90° ，PA⊥面ABC，PA=4，AD=2，AB=2√3，BC=6

求二面角P-BD-C的大小

请用两种方法做、
谢谢

Answer 1

法1（立体几何法）
二面角P-BD-C是二面角P-BD-A的补角。PB=√(PA^2+AB^2)=2√7，PD=√(PA^2+AD^2)=2√5，BD=√(AD^2+AB^2)=4。这是个锐角三角形，所以过P作BD的垂线垂足在BD上，作PE⊥BD交BD于E。设BE=x，则DE=4-x。由PB^2-BE^2=PD^2-DE^2得：(2√7)^2-x^2=(2√5)^2-(4-x)^2，解得x=3。故PE=√[(2√7)^2-3^2]=√19。
连接EA。则sin∠PEA=PA/PE=4/√19=4√19/19，∠PEA=arcsin4√19/19，所以二面角P-BD-C为π-arcsin4√19/19。

法2（空间向量法）
在图形空间建立三维直角坐标系，A为原点(0,0,0)，向量AB方向为x轴正方向，向量AD方向为y轴正方向，向量AP方向为z轴正方向。
B(2√3,0,0)，C(2√3,6,0)，D(0,2,0)，P(0,0,4)
平面PBD过P、B、D三点，其平面方程为x/2√3+y/2+z/4=1，化简得：2x+2√3y+√3z-4√3=0。则该平面方向向上的一条法向量n1=(2,2√3,√3)。
平面CBD过B、C、D三点，其平面方程为z=0。该平面方向向上的单位法向量n2=(0,0,1)。
两条法向量的夹角即为二面角P-BD-C的补角。
cos<n1,n2>=(n1·n2)/|n1||n2|=(2*0+2√3*0+√3*1)/√19=√57/19。
故二面角P-BD-C的大小为π-arccos√57/19=π-arcsin4√19/19

Answer 2

图哪？